# 第 5424 題：整數值遞推的有限前綴 [返回所在分頁 28](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/28/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261008-advance-20261012-r01-mathematical-induction-foundations/#q-20261008-advance-20261012-r01-mathematical-induction-0049) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0009-05424 · q-20261008-advance-20261012-r01-mathematical-induction-0049 ## 原題與已知條件 N從0起；有限歸納協議；a(0)=11、a(k+1)=a(k)+(1)，through=8。列a(0)至a(through)，含兩端。 - G001 — N從0起；有限歸納協議；a(0)=11、a(k+1)=a(k)+(1)，through=8。列a(0)至a(through)，含兩端。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-mathematical-induction](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-mathematical-induction/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 natural indices start at0;finite induction protocol 操作後 index bookkeeping and finite values are not proofs of all P(n) 條件：無 自然數索引不要求序列值非負；有限範圍或後繼索引的核對不自動提供命題真值或所有自然數的歸納證明。 步驟識別與依賴規則：finite_induction_claim_boundary · 依賴：G001 S002 · implies操作前 a(0)=11;through=8 操作後 [11] 條件：無 先列給定初值，through=0時只保留它。 步驟識別與依賴規則：recurrence_prefix_base · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 recurrence next value1 := sum(11, 1) 操作後 recurrence next value1 = 12 條件：無 用上一項加明示d，負步長或負項也合法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 a(0)=11;d=1 操作後 a(1)=12 條件：無 每一步使用最新前項，不重用初值；這是所求有限前綴的遞推。 步驟識別與依賴規則：finite_recurrence_transition · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 recurrence next value2 := sum(12, 1) 操作後 recurrence next value2 = 13 條件：無 用上一項加明示d，負步長或負項也合法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 a(1)=12;d=1 操作後 a(2)=13 條件：無 每一步使用最新前項，不重用初值；這是所求有限前綴的遞推。 步驟識別與依賴規則：finite_recurrence_transition · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 recurrence next value3 := sum(13, 1) 操作後 recurrence next value3 = 14 條件：無 用上一項加明示d，負步長或負項也合法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 a(2)=13;d=1 操作後 a(3)=14 條件：無 每一步使用最新前項，不重用初值；這是所求有限前綴的遞推。 步驟識別與依賴規則：finite_recurrence_transition · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 recurrence next value4 := sum(14, 1) 操作後 recurrence next value4 = 15 條件：無 用上一項加明示d，負步長或負項也合法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 a(3)=14;d=1 操作後 a(4)=15 條件：無 每一步使用最新前項，不重用初值；這是所求有限前綴的遞推。 步驟識別與依賴規則：finite_recurrence_transition · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 recurrence next value5 := sum(15, 1) 操作後 recurrence next value5 = 16 條件：無 用上一項加明示d，負步長或負項也合法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 a(4)=15;d=1 操作後 a(5)=16 條件：無 每一步使用最新前項，不重用初值；這是所求有限前綴的遞推。 步驟識別與依賴規則：finite_recurrence_transition · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 recurrence next value6 := sum(16, 1) 操作後 recurrence next value6 = 17 條件：無 用上一項加明示d，負步長或負項也合法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 a(5)=16;d=1 操作後 a(6)=17 條件：無 每一步使用最新前項，不重用初值；這是所求有限前綴的遞推。 步驟識別與依賴規則：finite_recurrence_transition · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 recurrence next value7 := sum(17, 1) 操作後 recurrence next value7 = 18 條件：無 用上一項加明示d，負步長或負項也合法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 a(6)=17;d=1 操作後 a(7)=18 條件：無 每一步使用最新前項，不重用初值；這是所求有限前綴的遞推。 步驟識別與依賴規則：finite_recurrence_transition · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 recurrence next value8 := sum(18, 1) 操作後 recurrence next value8 = 19 條件：無 用上一項加明示d，負步長或負項也合法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 a(7)=18;d=1 操作後 a(8)=19 條件：無 每一步使用最新前項，不重用初值；這是所求有限前綴的遞推。 步驟識別與依賴規則：finite_recurrence_transition · 依賴：G001, S017 ## 逐步反向核對 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence next value8，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence next value7，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence next value6，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence next value5，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence next value4，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence next value3，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence next value2，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence next value1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 [11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19] 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 425c3f118b4827387d8db3c56a48618910c383c8d00c1b18686d305f6ad69abb - candidate record SHA-256: eb97587aa7e70b8dcd57f80d40e0ff215dec8a06a9031590f834d9ca43af4c6f - semantic review receipt SHA-256: 71e7db519df31f3a164533e472e293cb64f001b475a8d002b4a5c2740a237b56 - question-first witness SHA-256: 5a43f4f81b6256281f8d139a4010bbde127be803c528e5878857269c8f854462 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261008-advance-20261012-r01-mathematical-induction-0049.json)