# 第 5376 題：有重疊選擇的前後計數

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0009-05376 · q-20261008-advance-20261012-r02-counting-principle-0076



## 原題與已知條件

有限選擇協議；整數選擇集合A=[]、B=[]。依序求 (|A|+|B|, |A∪B|, |A∩B|)，不要把重疊元素算兩次。


- G001 — 有限選擇協議；整數選擇集合A=[]、B=[]。依序求 (|A|+|B|, |A∪B|, |A∩B|)，不要把重疊元素算兩次。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-counting-principle](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-counting-principle/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

declared finite tagged choices or full-product protocol

操作後

combinatorial counts,not probabilities or independence

條件：無

加法需互斥標籤，乘法需題目明示允許完整跨階段組合；都不是概率獨立假設。

步驟識別與依賴規則：finite_counting_protocol_scope · 依賴：G001





S002 · calculation操作前

sum of choice-set sizes := sum(0, 0)

操作後

sum of choice-set sizes = 0

條件：無

先算可能重列的兩集合大小之和。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001





S003 · calculation操作前

overlap-corrected union size := sub(0, 0)

操作後

overlap-corrected union size = 0

條件：無

扣一次交集，核對實際聯集大小。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

A∪B=[];A∩B=[]

操作後

union size=0

條件：無

若選擇未加互斥標籤，必做此重疊修正；不把同一選項視為兩個結果。

步驟識別與依賴規則：finite_choice_inclusion_exclusion · 依賴：G001, S003









## 逐步反向核對


- S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 overlap-corrected union size，不以小數近似替代。
- S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 sum of choice-set sizes，不以小數近似替代。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

(0, 0, 0)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 02b05ba618611d923a27d3524821523e797b0f5b7dd192ff616f8c0428148e5f
- candidate record SHA-256: b8de768a16781c4b6bc08f38f0f5bd8fce3104e0908563eb6acfda26ac4fbe94
- semantic review receipt SHA-256: 71e7db519df31f3a164533e472e293cb64f001b475a8d002b4a5c2740a237b56
- question-first witness SHA-256: 5a43f4f81b6256281f8d139a4010bbde127be803c528e5878857269c8f854462
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261008-advance-20261012-r02-counting-principle-0076.json)