# 第 5400 題：有重疊選擇的前後計數 [返回所在分頁 27](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/27/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261008-advance-20261012-r02-counting-principle-foundations/#q-20261008-advance-20261012-r02-counting-principle-0100) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0009-05400 · q-20261008-advance-20261012-r02-counting-principle-0100 ## 原題與已知條件 有限選擇協議；整數選擇集合A=[0, 1, 2]、B=[0, 1, 2, 100, 101]。依序求 (|A|+|B|, |A∪B|, |A∩B|)，不要把重疊元素算兩次。 - G001 — 有限選擇協議；整數選擇集合A=[0, 1, 2]、B=[0, 1, 2, 100, 101]。依序求 (|A|+|B|, |A∪B|, |A∩B|)，不要把重疊元素算兩次。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-counting-principle](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-counting-principle/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 declared finite tagged choices or full-product protocol 操作後 combinatorial counts,not probabilities or independence 條件：無 加法需互斥標籤，乘法需題目明示允許完整跨階段組合；都不是概率獨立假設。 步驟識別與依賴規則：finite_counting_protocol_scope · 依賴：G001 S002 · implies操作前 choice=0;in A=是;in B=是 操作後 shared=是 條件：無 重疊元素在兩個大小之和出現兩次，但聯集只出現一次。 步驟識別與依賴規則：counting_overlap_membership · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 choice=1;in A=是;in B=是 操作後 shared=是 條件：無 重疊元素在兩個大小之和出現兩次，但聯集只出現一次。 步驟識別與依賴規則：counting_overlap_membership · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 choice=2;in A=是;in B=是 操作後 shared=是 條件：無 重疊元素在兩個大小之和出現兩次，但聯集只出現一次。 步驟識別與依賴規則：counting_overlap_membership · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 choice=100;in A=否;in B=是 操作後 shared=否 條件：無 重疊元素在兩個大小之和出現兩次，但聯集只出現一次。 步驟識別與依賴規則：counting_overlap_membership · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 choice=101;in A=否;in B=是 操作後 shared=否 條件：無 重疊元素在兩個大小之和出現兩次，但聯集只出現一次。 步驟識別與依賴規則：counting_overlap_membership · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 sum of choice-set sizes := sum(3, 5) 操作後 sum of choice-set sizes = 8 條件：無 先算可能重列的兩集合大小之和。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 overlap-corrected union size := sub(8, 3) 操作後 overlap-corrected union size = 5 條件：無 扣一次交集，核對實際聯集大小。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 A∪B=[0, 1, 2, 100, 101];A∩B=[0, 1, 2] 操作後 union size=5 條件：無 若選擇未加互斥標籤，必做此重疊修正；不把同一選項視為兩個結果。 步驟識別與依賴規則：finite_choice_inclusion_exclusion · 依賴：G001, S008 ## 逐步反向核對 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 overlap-corrected union size，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 sum of choice-set sizes，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (8, 5, 3) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 70058c01d89985259fc13f2e516f5fd6f47386b0b7e0a1da5bfc14ec1f80e0b7 - candidate record SHA-256: f161d1b3aab855c04d93232f640c0f1d93dad62ffdcb77564e5992cca026c54a - semantic review receipt SHA-256: 71e7db519df31f3a164533e472e293cb64f001b475a8d002b4a5c2740a237b56 - question-first witness SHA-256: 5a43f4f81b6256281f8d139a4010bbde127be803c528e5878857269c8f854462 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261008-advance-20261012-r02-counting-principle-0100.json)