# 第 30138 題：有向位移與平方L2長度 [返回所在分頁 151](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/151/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261008-advance-20261012-r06-euclidean-length-foundations/#q-20261008-advance-20261012-r06-euclidean-length-0013) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0059-30138 · q-20261008-advance-20261012-r06-euclidean-length-0013 ## 原題與已知條件 等單位正交L2；同一實平面與長度單位；P=[-2, 1]、Q=[-2, 4]。依序求 (Qx−Px, Qy−Py, L2(P,Q)²)，前兩項保留方向符號。 - G001 — 等單位正交L2；同一實平面與長度單位；P=[-2, 1]、Q=[-2, 4]。依序求 (Qx−Px, Qy−Py, L2(P,Q)²)，前兩項保留方向符號。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-euclidean-length](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-euclidean-length/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-density12-length-displacement-square, density12_length_displacement_square, integer_euclidean_plane] 操作後 derived = [[DIRECTED_Qx_minus_Px, DIRECTED_Qy_minus_Py, SQUARED_length]] 條件：無 保原bank的完整operation前綴、domain及輸出欄序；frame只用orthogonal_equal_unit，角度unit只用degrees。分數整數保/1；不增不存在的參數，不改原中英來源。 步驟識別與依賴規則：R59_EXACT_family_domain_FULLprefix_operation_and_answer_roles · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Length original PQ ORIGINAL Q minus P coordinate0 := sub(-2, -2) 操作後 Length original PQ ORIGINAL Q minus P coordinate0 = 0 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Length original PQ ORIGINAL Q minus P coordinate1 := sub(4, 1) 操作後 Length original PQ ORIGINAL Q minus P coordinate1 = 3 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Length original PQ ORIGINAL square coordinate0 := mul(0, 0) 操作後 Length original PQ ORIGINAL square coordinate0 = 0 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Length original PQ ORIGINAL square coordinate1 := mul(3, 3) 操作後 Length original PQ ORIGINAL square coordinate1 = 9 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Length original PQ ORIGINAL squared norm sum := sum(0, 9) 操作後 Length original PQ ORIGINAL squared norm sum = 9 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 source roles = [Length original PQ, [-2, 1], [-2, 4]] 操作後 derived = [[0, 3], 9] 條件：無 同一等單位正交L2 frame，位移是Q-P保符號；兩平方和才是非負長度平方。純衍生coordinate可超SAFE，不重新驗raw界。 步驟識別與依賴規則：Euclidean_DIRECTED_displacement_then_SQUARED_nonnegative_norm · 依賴：G001, S006 ## 逐步反向核對 - S007 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length original PQ ORIGINAL squared norm sum，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length original PQ ORIGINAL square coordinate1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length original PQ ORIGINAL square coordinate0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length original PQ ORIGINAL Q minus P coordinate1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length original PQ ORIGINAL Q minus P coordinate0，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 ## 結論 (0, 3, 9) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: abe372bdd2cbc18f4a230c04954d89a2244dca4a411ec3e682c98e44f07a5df7 - candidate record SHA-256: 07741ac53316c80014ccdfe70e8e71fd736f34e72935ba0c3eda43a7a3037c9b - semantic review receipt SHA-256: 4c93dea3956f58509e20b3b8bbbf716dbc340b424a2a5177bc04aba9e8ea9ec5 - question-first witness SHA-256: a5e56e0d64d622d7202840cef7019839c5a99244c602694190779155207dafdf - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261008-advance-20261012-r06-euclidean-length-0013.json)