# 第 30151 題：兩段有序整數主距離 [返回所在分頁 151](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/151/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261008-advance-20261012-r06-euclidean-length-foundations/#q-20261008-advance-20261012-r06-euclidean-length-0026) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0059-30151 · q-20261008-advance-20261012-r06-euclidean-length-0026 ## 原題與已知條件 等單位正交L2；同一實平面與長度單位；點P、Q、R依序為 [[0, 0], [0, 0], [0, 0]]，兩段平方和均為完全平方。依序求 (d(P,Q), d(Q,R)) 的整數主距離。 - G001 — 等單位正交L2；同一實平面與長度單位；點P、Q、R依序為 [[0, 0], [0, 0], [0, 0]]，兩段平方和均為完全平方。依序求 (d(P,Q), d(Q,R)) 的整數主距離。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-euclidean-length](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-euclidean-length/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-density12-length-integer-distance-pair, density12_length_integer_distance_pair, integer_euclidean_plane] 操作後 derived = [[nonnegative_distance_PQ, nonnegative_distance_QR]] 條件：無 保原bank的完整operation前綴、domain及輸出欄序；frame只用orthogonal_equal_unit，角度unit只用degrees。分數整數保/1；不增不存在的參數，不改原中英來源。 步驟識別與依賴規則：R59_EXACT_family_domain_FULLprefix_operation_and_answer_roles · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Length segment0 ORIGINAL Q minus P coordinate0 := sub(0, 0) 操作後 Length segment0 ORIGINAL Q minus P coordinate0 = 0 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Length segment0 ORIGINAL Q minus P coordinate1 := sub(0, 0) 操作後 Length segment0 ORIGINAL Q minus P coordinate1 = 0 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Length segment0 ORIGINAL square coordinate0 := mul(0, 0) 操作後 Length segment0 ORIGINAL square coordinate0 = 0 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Length segment0 ORIGINAL square coordinate1 := mul(0, 0) 操作後 Length segment0 ORIGINAL square coordinate1 = 0 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Length segment0 ORIGINAL squared norm sum := sum(0, 0) 操作後 Length segment0 ORIGINAL squared norm sum = 0 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 source roles = [Length segment0, [0, 0], [0, 0]] 操作後 derived = [[0, 0], 0] 條件：無 同一等單位正交L2 frame，位移是Q-P保符號；兩平方和才是非負長度平方。純衍生coordinate可超SAFE，不重新驗raw界。 步驟識別與依賴規則：Euclidean_DIRECTED_displacement_then_SQUARED_nonnegative_norm · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Length segment0 candidate nonnegative root squared := mul(0, 0) 操作後 Length segment0 candidate nonnegative root squared = 0 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Length segment0 candidate next integer := sum(0, 1) 操作後 Length segment0 candidate next integer = 1 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Length segment0 next integer squared := mul(1, 1) 操作後 Length segment0 next integer squared = 1 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 source roles = [Length segment0, 0] 操作後 derived = [0, 0, 1, 是] 條件：無 給r>=0、r²=N且(r+1)²>N的精確certificate，確定唯一非負主根r；這個slice要求N真perfect square。不是浮點round，也不把±r都當距離；衍生r不限SAFE。 步驟識別與依賴規則：Length_EXACT_perfect_square_certificate_NONNEGATIVE_principal_root · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Length segment1 ORIGINAL Q minus P coordinate0 := sub(0, 0) 操作後 Length segment1 ORIGINAL Q minus P coordinate0 = 0 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Length segment1 ORIGINAL Q minus P coordinate1 := sub(0, 0) 操作後 Length segment1 ORIGINAL Q minus P coordinate1 = 0 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Length segment1 ORIGINAL square coordinate0 := mul(0, 0) 操作後 Length segment1 ORIGINAL square coordinate0 = 0 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Length segment1 ORIGINAL square coordinate1 := mul(0, 0) 操作後 Length segment1 ORIGINAL square coordinate1 = 0 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Length segment1 ORIGINAL squared norm sum := sum(0, 0) 操作後 Length segment1 ORIGINAL squared norm sum = 0 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 source roles = [Length segment1, [0, 0], [0, 0]] 操作後 derived = [[0, 0], 0] 條件：無 同一等單位正交L2 frame，位移是Q-P保符號；兩平方和才是非負長度平方。純衍生coordinate可超SAFE，不重新驗raw界。 步驟識別與依賴規則：Euclidean_DIRECTED_displacement_then_SQUARED_nonnegative_norm · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Length segment1 candidate nonnegative root squared := mul(0, 0) 操作後 Length segment1 candidate nonnegative root squared = 0 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Length segment1 candidate next integer := sum(0, 1) 操作後 Length segment1 candidate next integer = 1 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Length segment1 next integer squared := mul(1, 1) 操作後 Length segment1 next integer squared = 1 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 source roles = [Length segment1, 0] 操作後 derived = [0, 0, 1, 是] 條件：無 給r>=0、r²=N且(r+1)²>N的精確certificate，確定唯一非負主根r；這個slice要求N真perfect square。不是浮點round，也不把±r都當距離；衍生r不限SAFE。 步驟識別與依賴規則：Length_EXACT_perfect_square_certificate_NONNEGATIVE_principal_root · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 source roles = [[[0, 0], [0, 0], [0, 0]]] 操作後 derived = [[0, 0]] 條件：無 按原P,Q,R順序回兩段距離(d(P,Q),d(Q,R))，可有coincident points且距離0；不是兩段和，也不是d(P,R)。 步驟識別與依賴規則：Length_TWO_original_segment_roots_IN_ORDER_not_sum_or_endpoint · 依賴：G001, S021 ## 逐步反向核對 - S022 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 - S021 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length segment1 next integer squared，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length segment1 candidate next integer，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length segment1 candidate nonnegative root squared，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length segment1 ORIGINAL squared norm sum，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length segment1 ORIGINAL square coordinate1，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length segment1 ORIGINAL square coordinate0，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length segment1 ORIGINAL Q minus P coordinate1，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length segment1 ORIGINAL Q minus P coordinate0，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length segment0 next integer squared，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length segment0 candidate next integer，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length segment0 candidate nonnegative root squared，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length segment0 ORIGINAL squared norm sum，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length segment0 ORIGINAL square coordinate1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length segment0 ORIGINAL square coordinate0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length segment0 ORIGINAL Q minus P coordinate1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length segment0 ORIGINAL Q minus P coordinate0，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 ## 結論 (0, 0) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 0ad7ede74a4912cbc8647cf4a13fdc344064bda42fdbc4ae674f36a449b72b8b - candidate record SHA-256: 167e422f657801163f7687ad5cb82cc9528ad51fe797f1a0668cf2720154625a - semantic review receipt SHA-256: 4c93dea3956f58509e20b3b8bbbf716dbc340b424a2a5177bc04aba9e8ea9ec5 - question-first witness SHA-256: a5e56e0d64d622d7202840cef7019839c5a99244c602694190779155207dafdf - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261008-advance-20261012-r06-euclidean-length-0026.json)