# 第 30191 題：中點座標及兩段平方 [返回所在分頁 151](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/151/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261008-advance-20261012-r06-euclidean-length-foundations/#q-20261008-advance-20261012-r06-euclidean-length-0066) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0059-30191 · q-20261008-advance-20261012-r06-euclidean-length-0066 ## 原題與已知條件 等單位正交L2；同一實平面與長度單位；P=[-15, 1]、Q=[16, 17]，M是中點。依序求 (Mx, My, d(P,M)², d(M,Q)²)，四項均用最簡正分母分數，後兩項明示為平方。 - G001 — 等單位正交L2；同一實平面與長度單位；P=[-15, 1]、Q=[16, 17]，M是中點。依序求 (Mx, My, d(P,M)², d(M,Q)²)，四項均用最簡正分母分數，後兩項明示為平方。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-euclidean-length](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-euclidean-length/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-density12-length-midpoint-equidistance, density12_length_midpoint_equidistance, integer_euclidean_plane] 操作後 derived = [[midpoint_x, midpoint_y, SQUARED_PM, SQUARED_MQ]] 條件：無 保原bank的完整operation前綴、domain及輸出欄序；frame只用orthogonal_equal_unit，角度unit只用degrees。分數整數保/1；不增不存在的參數，不改原中英來源。 步驟識別與依賴規則：R59_EXACT_family_domain_FULLprefix_operation_and_answer_roles · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Length original PQ ORIGINAL Q minus P coordinate0 := sub(16, -15) 操作後 Length original PQ ORIGINAL Q minus P coordinate0 = 31 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Length original PQ ORIGINAL Q minus P coordinate1 := sub(17, 1) 操作後 Length original PQ ORIGINAL Q minus P coordinate1 = 16 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Length original PQ ORIGINAL square coordinate0 := mul(31, 31) 操作後 Length original PQ ORIGINAL square coordinate0 = 961 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Length original PQ ORIGINAL square coordinate1 := mul(16, 16) 操作後 Length original PQ ORIGINAL square coordinate1 = 256 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Length original PQ ORIGINAL squared norm sum := sum(961, 256) 操作後 Length original PQ ORIGINAL squared norm sum = 1217 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 source roles = [Length original PQ, [-15, 1], [16, 17]] 操作後 derived = [[31, 16], 1217] 條件：無 同一等單位正交L2 frame，位移是Q-P保符號；兩平方和才是非負長度平方。純衍生coordinate可超SAFE，不重新驗raw界。 步驟識別與依賴規則：Euclidean_DIRECTED_displacement_then_SQUARED_nonnegative_norm · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Midpoint ORIGINAL endpoint sum coordinate0 := sum(-15, 16) 操作後 Midpoint ORIGINAL endpoint sum coordinate0 = 1 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Midpoint ORIGINAL average coordinate0 := div(1, 2) 操作後 Midpoint ORIGINAL average coordinate0 = 1/2 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Midpoint ORIGINAL endpoint sum coordinate1 := sum(1, 17) 操作後 Midpoint ORIGINAL endpoint sum coordinate1 = 18 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Midpoint ORIGINAL average coordinate1 := div(18, 2) 操作後 Midpoint ORIGINAL average coordinate1 = 9 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Midpoint ORIGINAL full squared length over four := div(1217, 4) 操作後 Midpoint ORIGINAL full squared length over four = 1217/4 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Midpoint reverse PM displacement coordinate0 := sub(1/2, -15) 操作後 Midpoint reverse PM displacement coordinate0 = 31/2 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Midpoint reverse PM displacement coordinate1 := sub(9, 1) 操作後 Midpoint reverse PM displacement coordinate1 = 8 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Midpoint reverse PM coordinate0 square := mul(31/2, 31/2) 操作後 Midpoint reverse PM coordinate0 square = 961/4 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Midpoint reverse PM coordinate1 square := mul(8, 8) 操作後 Midpoint reverse PM coordinate1 square = 64 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Midpoint reverse PM squared sum := sum(961/4, 64) 操作後 Midpoint reverse PM squared sum = 1217/4 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Midpoint reverse MQ displacement coordinate0 := sub(16, 1/2) 操作後 Midpoint reverse MQ displacement coordinate0 = 31/2 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Midpoint reverse MQ displacement coordinate1 := sub(17, 9) 操作後 Midpoint reverse MQ displacement coordinate1 = 8 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Midpoint reverse MQ coordinate0 square := mul(31/2, 31/2) 操作後 Midpoint reverse MQ coordinate0 square = 961/4 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Midpoint reverse MQ coordinate1 square := mul(8, 8) 操作後 Midpoint reverse MQ coordinate1 square = 64 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Midpoint reverse MQ squared sum := sum(961/4, 64) 操作後 Midpoint reverse MQ squared sum = 1217/4 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 source roles = [[-15, 1], [16, 17], [1/2, 9/1], 1217] 操作後 derived = [1217/4, 1217/4, 1217/4] 條件：無 M逐coordinate平均，可半整數；M-P與Q-M皆原位移的一半，平方長皆N/4，並已分兩方向回算。輸出的是平方，不再開根；P=Q也合法。 步驟識別與依賴規則：Length_midpoint_TWO_HALFsegment_SQUARES_not_distances · 依賴：G001, S022 ## 逐步反向核對 - S023 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint reverse MQ squared sum，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint reverse MQ coordinate1 square，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint reverse MQ coordinate0 square，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint reverse MQ displacement coordinate1，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint reverse MQ displacement coordinate0，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint reverse PM squared sum，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint reverse PM coordinate1 square，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint reverse PM coordinate0 square，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint reverse PM displacement coordinate1，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint reverse PM displacement coordinate0，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint ORIGINAL full squared length over four，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint ORIGINAL average coordinate1，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint ORIGINAL endpoint sum coordinate1，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint ORIGINAL average coordinate0，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint ORIGINAL endpoint sum coordinate0，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length original PQ ORIGINAL squared norm sum，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length original PQ ORIGINAL square coordinate1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length original PQ ORIGINAL square coordinate0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length original PQ ORIGINAL Q minus P coordinate1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length original PQ ORIGINAL Q minus P coordinate0，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 ## 結論 (1/2, 9/1, 1217/4, 1217/4) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: c5cbb3af20264e1a6371577699615715613e298f5725d500b83cd402aa2ff518 - candidate record SHA-256: e2a82ecb7b0f6887e5ecc51bd92a01f540d24946639d82b9ee44457fb7fe8205 - semantic review receipt SHA-256: 4c93dea3956f58509e20b3b8bbbf716dbc340b424a2a5177bc04aba9e8ea9ec5 - question-first witness SHA-256: a5e56e0d64d622d7202840cef7019839c5a99244c602694190779155207dafdf - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 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