# 第 6107 題：帶符號整數的歐式商餘

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0011-06107 · q-20261009-advance-20261013-r02-integer-0007



## 原題與已知條件

有限整數協議；a=7、b=3，b>0。求 (q,r) 使a=bq+r且0≤r<b，不用向零截斷的負餘數。


- G001 — 有限整數協議；a=7、b=3，b>0。求 (q,r) 使a=bq+r且0≤r<b，不用向零截斷的負餘數。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-integer](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-integer/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

declared exact integer or rational-representation protocol

操作後

retain signs,ordered operands and original index order

條件：無

用精確整數運算核對此有限資料，不取浮點近似，也不把有限計算升為全部整數環公理證明。

步驟識別與依賴規則：integer_arithmetic_scope · 依賴：G001





S002 · implies操作前

divide a=7 by positive b=3

操作後

7=2·3+1

條件：無

商與餘數滿足整數等式，且0≤r<b；負被除數也不能使用向零截斷後的負餘數。

步驟識別與依賴規則：euclidean_division_witness · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

0≤1<3;a=bq+r

操作後

unique pair(q,r)=(2,1)

條件：無

兩個合法餘數之差絕對值小於b，又等於b的整數倍，只能是0，故商餘數唯一。

步驟識別與依賴規則：bounded_euclidean_remainder_uniqueness · 依賴：G001, S002









## 逐步反向核對


- S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

(2, 1)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 57002571c16946711e21ced6a64579efdeac2e58814f1531a44bcdc36624ef5e
- candidate record SHA-256: a496e4f5da8bf00f9f21d32fbcece45af00d13b3ea889d11d28dd000e814f87a
- semantic review receipt SHA-256: b9bbc1c947f477a9c4bb5a579368ac5265f2da4572ce612c30f3633ecaf4ae80
- question-first witness SHA-256: 93f720df3ab3af13a792a3e6b443728e3c2a56276df839911f36569333236c55
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261009-advance-20261013-r02-integer-0007.json)