# 第 6550 題：三種頂點標記的行列式 [返回所在分頁 33](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/33/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261009-advance-20261013-r07-triangle-foundations/#q-20261009-advance-20261013-r07-triangle-0075) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0012-06550 · q-20261009-advance-20261013-r07-triangle-0075 ## 原題與已知條件 歐氏等單位正交座標；A、B、C按頂點索引1、2、3排列，points=[[0, 0], [1, 0], [0, 13]]。三點相異且非共線。依序求 (crossABC, crossBCA, crossACB) 有號整數，不把循環與交換標記混同。 - G001 — 歐氏等單位正交座標；A、B、C按頂點索引1、2、3排列，points=[[0, 0], [1, 0], [0, 13]]。三點相異且非共線。依序求 (crossABC, crossBCA, crossACB) 有號整數，不把循環與交換標記混同。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-triangle](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-triangle/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 [[0, 0], [1, 0], [0, 13]] 操作後 original vertex labels1,2,3 in an equal-unit orthogonal Euclidean frame 條件：無 保留A、B、C原順序，等單位且正交才使用此座標平方公式；不由示意圖讀數，候選頂點未必是合格三角形。 步驟識別與依賴規則：labelled_triangle_coordinate_scope · 依賴：G001 S002 · implies操作前 [[0, 0], [1, 0], [0, 13]] 操作後 three distinct points=是 條件：無 相異資格與非共線資格分開；三點共線可以彼此相異，重複頂點則不合非退化三角形。 步驟識別與依賴規則：distinct_triangle_vertex_check · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 ABC first vector component0 := sub(1, 0) 操作後 ABC first vector component0 = 1 條件：無 第一基向量是第二頂點減第一頂點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 ABC first vector component1 := sub(0, 0) 操作後 ABC first vector component1 = 0 條件：無 第一基向量是第二頂點減第一頂點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 ABC second vector component0 := sub(0, 0) 操作後 ABC second vector component0 = 0 條件：無 第二基向量是第三頂點減同一第一頂點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 ABC second vector component1 := sub(13, 0) 操作後 ABC second vector component1 = 13 條件：無 第二基向量是第三頂點減同一第一頂點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 ABC cross positive term := mul(1, 13) 操作後 ABC cross positive term = 13 條件：無 先算u_x v_y。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 ABC cross negative term := mul(0, 0) 操作後 ABC cross negative term = 0 條件：無 另算u_y v_x，減號留到下一步。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 ABC signed determinant := sub(13, 0) 操作後 ABC signed determinant = 13 條件：無 相減給有號二倍面積，不能取絕對值抹去標記方向。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 distinct=是;signed determinant=13 操作後 proper triangle=是 條件：無 非退化要求相異且行列式非零；只對這組明示座標給判定，不冒稱一般幾何構造證明。 步驟識別與依賴規則：triangle_nondegenerate_coordinate_qualification · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 BCA first vector component0 := sub(0, 1) 操作後 BCA first vector component0 = -1 條件：無 第一基向量是第二頂點減第一頂點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 BCA first vector component1 := sub(13, 0) 操作後 BCA first vector component1 = 13 條件：無 第一基向量是第二頂點減第一頂點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 BCA second vector component0 := sub(0, 1) 操作後 BCA second vector component0 = -1 條件：無 第二基向量是第三頂點減同一第一頂點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 BCA second vector component1 := sub(0, 0) 操作後 BCA second vector component1 = 0 條件：無 第二基向量是第三頂點減同一第一頂點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 BCA cross positive term := mul(-1, 0) 操作後 BCA cross positive term = 0 條件：無 先算u_x v_y。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 BCA cross negative term := mul(13, -1) 操作後 BCA cross negative term = -13 條件：無 另算u_y v_x，減號留到下一步。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 BCA signed determinant := sub(0, -13) 操作後 BCA signed determinant = 13 條件：無 相減給有號二倍面積，不能取絕對值抹去標記方向。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 ACB first vector component0 := sub(0, 0) 操作後 ACB first vector component0 = 0 條件：無 第一基向量是第二頂點減第一頂點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 ACB first vector component1 := sub(13, 0) 操作後 ACB first vector component1 = 13 條件：無 第一基向量是第二頂點減第一頂點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 ACB second vector component0 := sub(1, 0) 操作後 ACB second vector component0 = 1 條件：無 第二基向量是第三頂點減同一第一頂點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 ACB second vector component1 := sub(0, 0) 操作後 ACB second vector component1 = 0 條件：無 第二基向量是第三頂點減同一第一頂點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 ACB cross positive term := mul(0, 0) 操作後 ACB cross positive term = 0 條件：無 先算u_x v_y。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 ACB cross negative term := mul(13, 1) 操作後 ACB cross negative term = 13 條件：無 另算u_y v_x，減號留到下一步。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 ACB signed determinant := sub(0, 13) 操作後 ACB signed determinant = -13 條件：無 相減給有號二倍面積，不能取絕對值抹去標記方向。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 crossABC=13;crossBCA=13;crossACB=-13 操作後 cyclic order preserves sign;one transposition reverses it 條件：無 各個次序已獨立代算；循環標記不是交換兩頂點，負方向不能默默改成正面積。 步驟識別與依賴規則：cyclic_vs_swapped_triangle_labels · 依賴：G001, S024 ## 逐步反向核對 - S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ACB signed determinant，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ACB cross negative term，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ACB cross positive term，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ACB second vector component1，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ACB second vector component0，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ACB first vector component1，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ACB first vector component0，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 BCA signed determinant，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 BCA cross negative term，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 BCA cross positive term，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 BCA second vector component1，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 BCA second vector component0，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 BCA first vector component1，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 BCA first vector component0，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ABC signed determinant，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ABC cross negative term，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ABC cross positive term，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ABC second vector component1，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ABC second vector component0，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ABC first vector component1，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ABC first vector component0，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (13, 13, -13) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 487e8e1b4cb2ef5c4f949327be5ba0f5ec8c5d0080ea24b0b161c77ae5ac753b - candidate record SHA-256: 5b36639eb61c7149333d3a9ec035ee381b3e2e1b34b57db2e587b5100502f33f - semantic review receipt SHA-256: 90dbc494b2d34ef51f412dcff63cfcc1a2215d038bff71f38f5dded4c64faf00 - question-first witness SHA-256: b72a3b8bcf10f584396e0dd5198c657b0934a71864e5a3fa6321d7a613aef9f9 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261009-advance-20261013-r07-triangle-0075.json)