# 第 6561 題：對邊中點與三段平方 [返回所在分頁 33](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/33/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261009-advance-20261013-r07-triangle-foundations/#q-20261009-advance-20261013-r07-triangle-0086) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0012-06561 · q-20261009-advance-20261013-r07-triangle-0086 ## 原題與已知條件 歐氏等單位正交座標；A、B、C按頂點索引1、2、3排列，points=[[-10, 0], [0, 11], [11, 0]]。三點相異且非共線，vertex=2，M為對邊中點。依序求 (Mx, My, 第一對邊端點至M平方, 第二端點至M平方, vertex至M平方)，五項均為最簡有理數。 - G001 — 歐氏等單位正交座標；A、B、C按頂點索引1、2、3排列，points=[[-10, 0], [0, 11], [11, 0]]。三點相異且非共線，vertex=2，M為對邊中點。依序求 (Mx, My, 第一對邊端點至M平方, 第二端點至M平方, vertex至M平方)，五項均為最簡有理數。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-triangle](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-triangle/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 [[-10, 0], [0, 11], [11, 0]] 操作後 original vertex labels1,2,3 in an equal-unit orthogonal Euclidean frame 條件：無 保留A、B、C原順序，等單位且正交才使用此座標平方公式；不由示意圖讀數，候選頂點未必是合格三角形。 步驟識別與依賴規則：labelled_triangle_coordinate_scope · 依賴：G001 S002 · implies操作前 [[-10, 0], [0, 11], [11, 0]] 操作後 three distinct points=是 條件：無 相異資格與非共線資格分開；三點共線可以彼此相異，重複頂點則不合非退化三角形。 步驟識別與依賴規則：distinct_triangle_vertex_check · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 ABC first vector component0 := sub(0, -10) 操作後 ABC first vector component0 = 10 條件：無 第一基向量是第二頂點減第一頂點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 ABC first vector component1 := sub(11, 0) 操作後 ABC first vector component1 = 11 條件：無 第一基向量是第二頂點減第一頂點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 ABC second vector component0 := sub(11, -10) 操作後 ABC second vector component0 = 21 條件：無 第二基向量是第三頂點減同一第一頂點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 ABC second vector component1 := sub(0, 0) 操作後 ABC second vector component1 = 0 條件：無 第二基向量是第三頂點減同一第一頂點。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 ABC cross positive term := mul(10, 0) 操作後 ABC cross positive term = 0 條件：無 先算u_x v_y。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 ABC cross negative term := mul(11, 21) 操作後 ABC cross negative term = 231 條件：無 另算u_y v_x，減號留到下一步。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 ABC signed determinant := sub(0, 231) 操作後 ABC signed determinant = -231 條件：無 相減給有號二倍面積，不能取絕對值抹去標記方向。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 distinct=是;signed determinant=-231 操作後 proper triangle=是 條件：無 非退化要求相異且行列式非零；只對這組明示座標給判定，不冒稱一般幾何構造證明。 步驟識別與依賴規則：triangle_nondegenerate_coordinate_qualification · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 marked vertex=2 操作後 opposite endpoints=[1, 3] 條件：無 對邊端點是另外兩個原標記，不依座標或邊長重新排序。 步驟識別與依賴規則：original_label_opposite_side · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 midpoint coordinate sum0 := sum(-10, 11) 操作後 midpoint coordinate sum0 = 1 條件：無 對邊兩端的同分量先相加。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 midpoint coordinate0 := div(1, 2) 操作後 midpoint coordinate0 = 1/2 條件：無 完整座標和除2，保留最簡有理值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 midpoint coordinate sum1 := sum(0, 0) 操作後 midpoint coordinate sum1 = 0 條件：無 對邊兩端的同分量先相加。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 midpoint coordinate1 := div(0, 2) 操作後 midpoint coordinate1 = 0 條件：無 完整座標和除2，保留最簡有理值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 first endpoint to midpoint coordinate difference0 := sub(-10, 1/2) 操作後 first endpoint to midpoint coordinate difference0 = -21/2 條件：無 先取同分量座標差，允許中點有理數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 first endpoint to midpoint difference squared0 := square(-21/2) 操作後 first endpoint to midpoint difference squared0 = 441/4 條件：無 逐分量平方，差的正負不影響平方長度。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 first endpoint to midpoint coordinate difference1 := sub(0, 0) 操作後 first endpoint to midpoint coordinate difference1 = 0 條件：無 先取同分量座標差，允許中點有理數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 first endpoint to midpoint difference squared1 := square(0) 操作後 first endpoint to midpoint difference squared1 = 0 條件：無 逐分量平方，差的正負不影響平方長度。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 first endpoint to midpoint squared distance := sum(441/4, 0) 操作後 first endpoint to midpoint squared distance = 441/4 條件：無 依等單位正交L2關係相加兩平方。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 second endpoint to midpoint coordinate difference0 := sub(11, 1/2) 操作後 second endpoint to midpoint coordinate difference0 = 21/2 條件：無 先取同分量座標差，允許中點有理數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 second endpoint to midpoint difference squared0 := square(21/2) 操作後 second endpoint to midpoint difference squared0 = 441/4 條件：無 逐分量平方，差的正負不影響平方長度。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 second endpoint to midpoint coordinate difference1 := sub(0, 0) 操作後 second endpoint to midpoint coordinate difference1 = 0 條件：無 先取同分量座標差，允許中點有理數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 second endpoint to midpoint difference squared1 := square(0) 操作後 second endpoint to midpoint difference squared1 = 0 條件：無 逐分量平方，差的正負不影響平方長度。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 second endpoint to midpoint squared distance := sum(441/4, 0) 操作後 second endpoint to midpoint squared distance = 441/4 條件：無 依等單位正交L2關係相加兩平方。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 marked vertex to midpoint coordinate difference0 := sub(0, 1/2) 操作後 marked vertex to midpoint coordinate difference0 = -1/2 條件：無 先取同分量座標差，允許中點有理數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 marked vertex to midpoint difference squared0 := square(-1/2) 操作後 marked vertex to midpoint difference squared0 = 1/4 條件：無 逐分量平方，差的正負不影響平方長度。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 marked vertex to midpoint coordinate difference1 := sub(11, 0) 操作後 marked vertex to midpoint coordinate difference1 = 11 條件：無 先取同分量座標差，允許中點有理數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 marked vertex to midpoint difference squared1 := square(11) 操作後 marked vertex to midpoint difference squared1 = 121 條件：無 逐分量平方，差的正負不影響平方長度。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 marked vertex to midpoint squared distance := sum(1/4, 121) 操作後 marked vertex to midpoint squared distance = 485/4 條件：無 依等單位正交L2關係相加兩平方。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · implies操作前 endpoint squares=(441/4,441/4);vertex-to-midpoint square=485/4 操作後 endpoint equality does not make every median half the opposite side 條件：無 中點到兩端點距離相等且各為對邊一半；任意第三頂點到中點的中線長不必等於它們，不把直角斜邊特例套到任意標記。 步驟識別與依賴規則：midpoint_endpoint_vs_median_distinction · 依賴：G001, S030 ## 逐步反向核對 - S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 marked vertex to midpoint squared distance，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 marked vertex to midpoint difference squared1，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 marked vertex to midpoint coordinate difference1，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 marked vertex to midpoint difference squared0，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 marked vertex to midpoint coordinate difference0，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second endpoint to midpoint squared distance，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second endpoint to midpoint difference squared1，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second endpoint to midpoint coordinate difference1，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second endpoint to midpoint difference squared0，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second endpoint to midpoint coordinate difference0，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first endpoint to midpoint squared distance，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first endpoint to midpoint difference squared1，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first endpoint to midpoint coordinate difference1，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first endpoint to midpoint difference squared0，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first endpoint to midpoint coordinate difference0，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 midpoint coordinate1，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 midpoint coordinate sum1，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 midpoint coordinate0，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 midpoint coordinate sum0，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ABC signed determinant，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ABC cross negative term，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ABC cross positive term，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ABC second vector component1，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ABC second vector component0，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ABC first vector component1，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 ABC first vector component0，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (1/2, 0/1, 441/4, 441/4, 485/4) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: d879c0155374a52e5fada7d7c366e8f5e8592c5e20e07e2521b7ffa4a5373c28 - candidate record SHA-256: 8229d1fe11f4975c04a7420f9b4008b4ea52d50d0e17d12aa922627a707fb717 - semantic review receipt SHA-256: 90dbc494b2d34ef51f412dcff63cfcc1a2215d038bff71f38f5dded4c64faf00 - question-first witness SHA-256: b72a3b8bcf10f584396e0dd5198c657b0934a71864e5a3fa6321d7a613aef9f9 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261009-advance-20261013-r07-triangle-0086.json)