# 第 30597 題：根周圍的候選與回代 [返回所在分頁 153](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/153/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261010-advance-20261014-r04-linear-equation-foundations/#q-20261010-advance-20261014-r04-linear-equation-0072) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0060-30597 · q-20261010-advance-20261014-r04-linear-equation-0072 ## 原題與已知條件 Q上ax+b=0；非零a才是一次；a=-22≠0、b=9，offsets=[0/1, 22/2, -21/3]。依序答 (root, root+offset三值, 原式回代殘差三值, 成立資格三值)。 - G001 — Q上ax+b=0；非零a才是一次；a=-22≠0、b=9，offsets=[0/1, 22/2, -21/3]。依序答 (root, root+offset三值, 原式回代殘差三值, 成立資格三值)。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-linear-equation](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-equation/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-density14-linear-root-substitution-grid, density14_linear_root_substitution_grid, finite_Q_affine_row_protocol] 操作後 derived = [[root, ALL_candidates, ALL_original_residuals, ALL_exact_solution_flags]] 條件：無 density14/15用full-prefix underscores，density17用local hyphens。coordinate frame與circle frame不同，輸出欄序／型別依本family，不改原中英／JSON／status。 步驟識別與依賴規則：R60_EXACT_perbank_operation_domain_FRAME_and_output_roles · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Linear grid base ORIGINAL negated constant := sub(0, 9) 操作後 Linear grid base ORIGINAL negated constant = -9 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Linear grid base ORIGINAL negative b over a := div(-9, -22) 操作後 Linear grid base ORIGINAL negative b over a = 9/22 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Linear grid base reverse ORIGINAL a times root := mul(-22, 9/22) 操作後 Linear grid base reverse ORIGINAL a times root = -9 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Linear grid base reverse ORIGINAL residual plus b := sum(-9, 9) 操作後 Linear grid base reverse ORIGINAL residual plus b = 0 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 source roles = [Linear grid base, -22, 9] 操作後 derived = [9/22, 0/1] 條件：無 a非0才可除，ax+b=0 iff x=-b/a；以原係數回代殘差0確認。負a也約成正den，derived root不截SAFE，不用近似。 步驟識別與依賴規則：Linear_NONZERO_a_exact_Q_root_AND_original_substitution · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 source roles = [Linear grid original offset0, [0, 1]] 操作後 derived = [0/1] 條件：無 raw兩component SAFE、den非0，可負den，先正規化sign/gcd；衍生fraction不限SAFE或1e6，整數保/1。 步驟識別與依賴規則：R60_RAW_SAFE_rational_pair_NONZERO_den_SIGN_normalized · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 source roles = [Linear grid original offset1, [22, 2]] 操作後 derived = [11/1] 條件：無 raw兩component SAFE、den非0，可負den，先正規化sign/gcd；衍生fraction不限SAFE或1e6，整數保/1。 步驟識別與依賴規則：R60_RAW_SAFE_rational_pair_NONZERO_den_SIGN_normalized · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 source roles = [Linear grid original offset2, [-21, 3]] 操作後 derived = [-7/1] 條件：無 raw兩component SAFE、den非0，可負den，先正規化sign/gcd；衍生fraction不限SAFE或1e6，整數保/1。 步驟識別與依賴規則：R60_RAW_SAFE_rational_pair_NONZERO_den_SIGN_normalized · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Linear grid ORIGINAL root plus offset0 := sum(9/22, 0) 操作後 Linear grid ORIGINAL root plus offset0 = 9/22 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Linear grid ORIGINAL a times candidate0 := mul(-22, 9/22) 操作後 Linear grid ORIGINAL a times candidate0 = -9 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Linear grid ORIGINAL candidate0 residual plus b := sum(-9, 9) 操作後 Linear grid ORIGINAL candidate0 residual plus b = 0 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Linear grid reverse a times offset0 := mul(-22, 0) 操作後 Linear grid reverse a times offset0 = 0 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Linear grid ORIGINAL root plus offset1 := sum(9/22, 11) 操作後 Linear grid ORIGINAL root plus offset1 = 251/22 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Linear grid ORIGINAL a times candidate1 := mul(-22, 251/22) 操作後 Linear grid ORIGINAL a times candidate1 = -251 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Linear grid ORIGINAL candidate1 residual plus b := sum(-251, 9) 操作後 Linear grid ORIGINAL candidate1 residual plus b = -242 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Linear grid reverse a times offset1 := mul(-22, 11) 操作後 Linear grid reverse a times offset1 = -242 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Linear grid ORIGINAL root plus offset2 := sum(9/22, -7) 操作後 Linear grid ORIGINAL root plus offset2 = -145/22 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Linear grid ORIGINAL a times candidate2 := mul(-22, -145/22) 操作後 Linear grid ORIGINAL a times candidate2 = 145 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Linear grid ORIGINAL candidate2 residual plus b := sum(145, 9) 操作後 Linear grid ORIGINAL candidate2 residual plus b = 154 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Linear grid reverse a times offset2 := mul(-22, -7) 操作後 Linear grid reverse a times offset2 = 154 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 source roles = [-22, 9, 9/22, [0/1, 11/1, -7/1]] 操作後 derived = [[9/22, 251/22, -145/22], [0/1, -242/1, 154/1], [是, 否, 否]] 條件：無 每個candidate以原a*x+b算，不用距根接近或offset的外觀。反算residual=a*offset；a非0，所以offset0才真解，負den先normalize。 步驟識別與依賴規則：Linear_grid_EVERY_original_equation_residual_exact_zero_NOT_nearness · 依賴：G001, S021 ## 逐步反向核對 - S022 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Linear grid reverse a times offset2，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Linear grid ORIGINAL candidate2 residual plus b，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Linear grid ORIGINAL a times candidate2，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Linear grid ORIGINAL root plus offset2，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Linear grid reverse a times offset1，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Linear grid ORIGINAL candidate1 residual plus b，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Linear grid ORIGINAL a times candidate1，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Linear grid ORIGINAL root plus offset1，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Linear grid reverse a times offset0，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Linear grid ORIGINAL candidate0 residual plus b，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Linear grid ORIGINAL a times candidate0，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Linear grid ORIGINAL root plus offset0，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S008 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S007 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S006 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Linear grid base reverse ORIGINAL residual plus b，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Linear grid base reverse ORIGINAL a times root，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Linear grid base ORIGINAL negative b over a，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Linear grid base ORIGINAL negated constant，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 ## 結論 (9/22, [9/22, 251/22, -145/22], [0/1, -242/1, 154/1], [是, 否, 否]) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 7a5a9894dc21a7d88fc42a6e2e257e52b054dc51c5514026430790b5b36e3b7d - candidate record SHA-256: 8870c0a32d039c08b819d8fb7ed0f8f0a82bc6c158030ac4c4bd14a73a2a2b17 - semantic review receipt SHA-256: d6b5a409bf933281a46617cd715d8016fd5ca3d6fb76f77d179ac2ecd9d608bf - question-first witness SHA-256: f80ecf598c6893a580af018e1a82849b33ee6887efb48a6a1d69569aa17f12e4 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261010-advance-20261014-r04-linear-equation-0072.json)