# 第 30625 題：兩行一次式的共同根 [返回所在分頁 154](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/154/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261010-advance-20261014-r04-linear-equation-foundations/#q-20261010-advance-20261014-r04-linear-equation-0100) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0060-30625 · q-20261010-advance-20261014-r04-linear-equation-0100 ## 原題與已知條件 Q上ax+b=0；非零a才是一次；有序rows=[[2, -24], [-3, -23]]，每行[a,b]且a≠0。依序答 (root1, root2, 共同根存在是否, 共同root或無)。 - G001 — Q上ax+b=0；非零a才是一次；有序rows=[[2, -24], [-3, -23]]，每行[a,b]且a≠0。依序答 (root1, root2, 共同根存在是否, 共同root或無)。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-linear-equation](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-equation/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-density14-linear-two-row-coincidence, density14_linear_two_row_coincidence, finite_Q_affine_row_protocol] 操作後 derived = [[root1, root2, equal, common_root_or_none]] 條件：無 density14/15用full-prefix underscores，density17用local hyphens。coordinate frame與circle frame不同，輸出欄序／型別依本family，不改原中英／JSON／status。 步驟識別與依賴規則：R60_EXACT_perbank_operation_domain_FRAME_and_output_roles · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Linear original row0 ORIGINAL negated constant := sub(0, -24) 操作後 Linear original row0 ORIGINAL negated constant = 24 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Linear original row0 ORIGINAL negative b over a := div(24, 2) 操作後 Linear original row0 ORIGINAL negative b over a = 12 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Linear original row0 reverse ORIGINAL a times root := mul(2, 12) 操作後 Linear original row0 reverse ORIGINAL a times root = 24 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Linear original row0 reverse ORIGINAL residual plus b := sum(24, -24) 操作後 Linear original row0 reverse ORIGINAL residual plus b = 0 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 source roles = [Linear original row0, 2, -24] 操作後 derived = [12/1, 0/1] 條件：無 a非0才可除，ax+b=0 iff x=-b/a；以原係數回代殘差0確認。負a也約成正den，derived root不截SAFE，不用近似。 步驟識別與依賴規則：Linear_NONZERO_a_exact_Q_root_AND_original_substitution · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Linear original row1 ORIGINAL negated constant := sub(0, -23) 操作後 Linear original row1 ORIGINAL negated constant = 23 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Linear original row1 ORIGINAL negative b over a := div(23, -3) 操作後 Linear original row1 ORIGINAL negative b over a = -23/3 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Linear original row1 reverse ORIGINAL a times root := mul(-3, -23/3) 操作後 Linear original row1 reverse ORIGINAL a times root = 23 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Linear original row1 reverse ORIGINAL residual plus b := sum(23, -23) 操作後 Linear original row1 reverse ORIGINAL residual plus b = 0 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 source roles = [Linear original row1, -3, -23] 操作後 derived = [-23/3, 0/1] 條件：無 a非0才可除，ax+b=0 iff x=-b/a；以原係數回代殘差0確認。負a也約成正den，derived root不截SAFE，不用近似。 步驟識別與依賴規則：Linear_NONZERO_a_exact_Q_root_AND_original_substitution · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 source roles = [[[2, -24], [-3, -23]]] 操作後 derived = [[12/1, -23/3], 否, 無] 條件：無 兩row都先驗a非0，各自解根再精確比較。係數不同仍可同根；無共同根回none，不造數值0或以近似判相等。 步驟識別與依賴規則：Linear_TWO_independent_nonzero_rows_root_coincidence_NOT_coefficients · 依賴：G001, S011 ## 逐步反向核對 - S012 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S011 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Linear original row1 reverse ORIGINAL residual plus b，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Linear original row1 reverse ORIGINAL a times root，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Linear original row1 ORIGINAL negative b over a，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Linear original row1 ORIGINAL negated constant，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Linear original row0 reverse ORIGINAL residual plus b，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Linear original row0 reverse ORIGINAL a times root，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Linear original row0 ORIGINAL negative b over a，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Linear original row0 ORIGINAL negated constant，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 ## 結論 (12/1, -23/3, 否, 無) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 30ccdfd36f42b2e7e6dffefef112c5d5cf919d744cc19f50fa9571ea108183bc - candidate record SHA-256: 21224b298218aefc086ae0ca7b832e94b263249b6ca89fc9cd51cdfb7529e8c1 - semantic review receipt SHA-256: d6b5a409bf933281a46617cd715d8016fd5ca3d6fb76f77d179ac2ecd9d608bf - question-first witness SHA-256: f80ecf598c6893a580af018e1a82849b33ee6887efb48a6a1d69569aa17f12e4 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261010-advance-20261014-r04-linear-equation-0100.json)