# 第 6708 題：相鄰階乘與精確比 [返回所在分頁 34](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/34/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261010-advance-20261014-r05-factorial-foundations/#q-20261010-advance-20261014-r05-factorial-0008) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0012-06708 · q-20261010-advance-20261014-r05-factorial-0008 ## 原題與已知條件 N從0起；BigInt精確階乘；n=7。依序求 (F(n), F(n+1), F(n+1)/F(n)) 的十進整數，F(0)=1。 - G001 — N從0起；BigInt精確階乘；n=7。依序求 (F(n), F(n+1), F(n+1)/F(n)) 的十進整數，F(0)=1。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-factorial](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-factorial/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 N includes0;F(0)=1;F(j)=j·F(j−1) 操作後 exact integer products,not floating values or a permutation proof 條件：無 階乘使用空乘積1及逐因子整數乘積，所有大數精確保留；有限遞迴核對不冒充一般排列計數證明。 步驟識別與依賴規則：exact_factorial_protocol · 依賴：G001 S002 · implies操作前 actual factorial:start at F(0) 操作後 F(0)=1 條件：無 0個因子的空乘積是1，不是0；這是後繼遞推的起點。 步驟識別與依賴規則：factorial_empty_product_base · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 actual factorial through factor1 := mul(1, 1) 操作後 actual factorial through factor1 = 1 條件：無 把新正整數因子乘入前一階乘值，保留全部中間整數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 actual factorial through factor2 := mul(1, 2) 操作後 actual factorial through factor2 = 2 條件：無 把新正整數因子乘入前一階乘值，保留全部中間整數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 actual factorial through factor3 := mul(2, 3) 操作後 actual factorial through factor3 = 6 條件：無 把新正整數因子乘入前一階乘值，保留全部中間整數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 actual factorial through factor4 := mul(6, 4) 操作後 actual factorial through factor4 = 24 條件：無 把新正整數因子乘入前一階乘值，保留全部中間整數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 actual factorial through factor5 := mul(24, 5) 操作後 actual factorial through factor5 = 120 條件：無 把新正整數因子乘入前一階乘值，保留全部中間整數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 actual factorial through factor6 := mul(120, 6) 操作後 actual factorial through factor6 = 720 條件：無 把新正整數因子乘入前一階乘值，保留全部中間整數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 actual factorial through factor7 := mul(720, 7) 操作後 actual factorial through factor7 = 5040 條件：無 把新正整數因子乘入前一階乘值，保留全部中間整數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 true successor factorial := mul(8, 5040) 操作後 true successor factorial = 40320 條件：無 依F(n+1)=(n+1)F(n)求下一值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 successor factorial ratio := div(40320, 5040) 操作後 successor factorial ratio = 8 條件：無 F(n)>0才可相除，精確比值為n+1。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 F(7)=5040>0;F(8)=40320 操作後 ratio=8 條件：無 包括n=0時F(0)=F(1)=1，不使用0!=0或浮點近似。 步驟識別與依賴規則：positive_factorial_adjacent_ratio · 依賴：G001, S011 ## 逐步反向核對 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 successor factorial ratio，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 true successor factorial，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 actual factorial through factor7，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 actual factorial through factor6，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 actual factorial through factor5，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 actual factorial through factor4，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 actual factorial through factor3，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 actual factorial through factor2，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 actual factorial through factor1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (5040, 40320, 8) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: c36b91c5d1448377042bf56b91371f604e87c31c09f4ec6348098f91899a4425 - candidate record SHA-256: 05cf34f5980eef0ed49dd2945271cb4c9747fbdda1ff2022f5834561e0c424a3 - semantic review receipt SHA-256: 90dbc494b2d34ef51f412dcff63cfcc1a2215d038bff71f38f5dded4c64faf00 - question-first witness SHA-256: b72a3b8bcf10f584396e0dd5198c657b0934a71864e5a3fa6321d7a613aef9f9 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261010-advance-20261014-r05-factorial-0008.json)