# 第 6778 題：階乘窗口的乘積與因子索引 [返回所在分頁 34](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/34/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261010-advance-20261014-r05-factorial-foundations/#q-20261010-advance-20261014-r05-factorial-0028) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0012-06778 · q-20261010-advance-20261014-r05-factorial-0028 ## 原題與已知條件 N從0起；BigInt精確階乘；0≤lo=0≤hi=20≤64。依序答 (hi!/lo!, lo+1至hi的因子索引列表, 是否空窗口)。 - G001 — N從0起；BigInt精確階乘；0≤lo=0≤hi=20≤64。依序答 (hi!/lo!, lo+1至hi的因子索引列表, 是否空窗口)。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-factorial](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-factorial/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 N includes0;F(0)=1;F(j)=j·F(j−1) 操作後 exact integer products,not floating values or a permutation proof 條件：無 階乘使用空乘積1及逐因子整數乘積，所有大數精確保留；有限遞迴核對不冒充一般排列計數證明。 步驟識別與依賴規則：exact_factorial_protocol · 依賴：G001 S002 · implies操作前 lo=0;hi=20;window factors=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20] 操作後 hi!/lo! is the product of exactly these factors 條件：無 lo!是正整數，可約掉共有的前綴乘積；lo=hi時沒有剩餘因子，商為1。 步驟識別與依賴規則：factorial_positive_prefix_cancellation · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 window through factor1 := mul(1, 1) 操作後 window through factor1 = 1 條件：無 只乘lo+1至hi範圍內的因子，不重做或加入窗口外因子。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 window through factor2 := mul(1, 2) 操作後 window through factor2 = 2 條件：無 只乘lo+1至hi範圍內的因子，不重做或加入窗口外因子。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 window through factor3 := mul(2, 3) 操作後 window through factor3 = 6 條件：無 只乘lo+1至hi範圍內的因子，不重做或加入窗口外因子。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 window through factor4 := mul(6, 4) 操作後 window through factor4 = 24 條件：無 只乘lo+1至hi範圍內的因子，不重做或加入窗口外因子。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 window through factor5 := mul(24, 5) 操作後 window through factor5 = 120 條件：無 只乘lo+1至hi範圍內的因子，不重做或加入窗口外因子。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 window through factor6 := mul(120, 6) 操作後 window through factor6 = 720 條件：無 只乘lo+1至hi範圍內的因子，不重做或加入窗口外因子。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 window through factor7 := mul(720, 7) 操作後 window through factor7 = 5040 條件：無 只乘lo+1至hi範圍內的因子，不重做或加入窗口外因子。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 window through factor8 := mul(5040, 8) 操作後 window through factor8 = 40320 條件：無 只乘lo+1至hi範圍內的因子，不重做或加入窗口外因子。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 window through factor9 := mul(40320, 9) 操作後 window through factor9 = 362880 條件：無 只乘lo+1至hi範圍內的因子，不重做或加入窗口外因子。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 window through factor10 := mul(362880, 10) 操作後 window through factor10 = 3628800 條件：無 只乘lo+1至hi範圍內的因子，不重做或加入窗口外因子。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 window through factor11 := mul(3628800, 11) 操作後 window through factor11 = 39916800 條件：無 只乘lo+1至hi範圍內的因子，不重做或加入窗口外因子。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 window through factor12 := mul(39916800, 12) 操作後 window through factor12 = 479001600 條件：無 只乘lo+1至hi範圍內的因子，不重做或加入窗口外因子。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 window through factor13 := mul(479001600, 13) 操作後 window through factor13 = 6227020800 條件：無 只乘lo+1至hi範圍內的因子，不重做或加入窗口外因子。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 window through factor14 := mul(6227020800, 14) 操作後 window through factor14 = 87178291200 條件：無 只乘lo+1至hi範圍內的因子，不重做或加入窗口外因子。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 window through factor15 := mul(87178291200, 15) 操作後 window through factor15 = 1307674368000 條件：無 只乘lo+1至hi範圍內的因子，不重做或加入窗口外因子。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 window through factor16 := mul(1307674368000, 16) 操作後 window through factor16 = 20922789888000 條件：無 只乘lo+1至hi範圍內的因子，不重做或加入窗口外因子。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 window through factor17 := mul(20922789888000, 17) 操作後 window through factor17 = 355687428096000 條件：無 只乘lo+1至hi範圍內的因子，不重做或加入窗口外因子。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 window through factor18 := mul(355687428096000, 18) 操作後 window through factor18 = 6402373705728000 條件：無 只乘lo+1至hi範圍內的因子，不重做或加入窗口外因子。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 window through factor19 := mul(6402373705728000, 19) 操作後 window through factor19 = 121645100408832000 條件：無 只乘lo+1至hi範圍內的因子，不重做或加入窗口外因子。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 window through factor20 := mul(121645100408832000, 20) 操作後 window through factor20 = 2432902008176640000 條件：無 只乘lo+1至hi範圍內的因子，不重做或加入窗口外因子。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 ## 逐步反向核對 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 window through factor20，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 window through factor19，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 window through factor18，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 window through factor17，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 window through factor16，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 window through factor15，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 window through factor14，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 window through factor13，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 window through factor12，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 window through factor11，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 window through factor10，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 window through factor9，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 window through factor8，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 window through factor7，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 window through factor6，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 window through factor5，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 window through factor4，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 window through factor3，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 window through factor2，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 window through factor1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (2432902008176640000, [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20], 否) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 4c2c04075c652d76d53b3d8c66eb0e660cc0a01ee84a47bb2cf5ea79fd253743 - candidate record SHA-256: 740c0c7d516a395d4e773bddbd310c500e994b7d4dd6ac7876d1ef245eeec373 - semantic review receipt SHA-256: 90dbc494b2d34ef51f412dcff63cfcc1a2215d038bff71f38f5dded4c64faf00 - question-first witness SHA-256: b72a3b8bcf10f584396e0dd5198c657b0934a71864e5a3fa6321d7a613aef9f9 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261010-advance-20261014-r05-factorial-0028.json)