# 第 6762 題：省去一次因子的乘積 [返回所在分頁 34](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/34/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261010-advance-20261014-r05-factorial-foundations/#q-20261010-advance-20261014-r05-factorial-0087) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0012-06762 · q-20261010-advance-20261014-r05-factorial-0087 ## 原題與已知條件 N從0起；BigInt精確階乘；n=13、k=12∈[1,n]。依序求 (n!, 省去一次k的乘積n!/k, k回乘後減n!)。 - G001 — N從0起；BigInt精確階乘；n=13、k=12∈[1,n]。依序求 (n!, 省去一次k的乘積n!/k, k回乘後減n!)。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-factorial](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-factorial/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 N includes0;F(0)=1;F(j)=j·F(j−1) 操作後 exact integer products,not floating values or a permutation proof 條件：無 階乘使用空乘積1及逐因子整數乘積，所有大數精確保留；有限遞迴核對不冒充一般排列計數證明。 步驟識別與依賴規則：exact_factorial_protocol · 依賴：G001 S002 · implies操作前 actual factorial:start at F(0) 操作後 F(0)=1 條件：無 0個因子的空乘積是1，不是0；這是後繼遞推的起點。 步驟識別與依賴規則：factorial_empty_product_base · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 actual factorial through factor1 := mul(1, 1) 操作後 actual factorial through factor1 = 1 條件：無 把新正整數因子乘入前一階乘值，保留全部中間整數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 actual factorial through factor2 := mul(1, 2) 操作後 actual factorial through factor2 = 2 條件：無 把新正整數因子乘入前一階乘值，保留全部中間整數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 actual factorial through factor3 := mul(2, 3) 操作後 actual factorial through factor3 = 6 條件：無 把新正整數因子乘入前一階乘值，保留全部中間整數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 actual factorial through factor4 := mul(6, 4) 操作後 actual factorial through factor4 = 24 條件：無 把新正整數因子乘入前一階乘值，保留全部中間整數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 actual factorial through factor5 := mul(24, 5) 操作後 actual factorial through factor5 = 120 條件：無 把新正整數因子乘入前一階乘值，保留全部中間整數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 actual factorial through factor6 := mul(120, 6) 操作後 actual factorial through factor6 = 720 條件：無 把新正整數因子乘入前一階乘值，保留全部中間整數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 actual factorial through factor7 := mul(720, 7) 操作後 actual factorial through factor7 = 5040 條件：無 把新正整數因子乘入前一階乘值，保留全部中間整數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 actual factorial through factor8 := mul(5040, 8) 操作後 actual factorial through factor8 = 40320 條件：無 把新正整數因子乘入前一階乘值，保留全部中間整數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 actual factorial through factor9 := mul(40320, 9) 操作後 actual factorial through factor9 = 362880 條件：無 把新正整數因子乘入前一階乘值，保留全部中間整數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 actual factorial through factor10 := mul(362880, 10) 操作後 actual factorial through factor10 = 3628800 條件：無 把新正整數因子乘入前一階乘值，保留全部中間整數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 actual factorial through factor11 := mul(3628800, 11) 操作後 actual factorial through factor11 = 39916800 條件：無 把新正整數因子乘入前一階乘值，保留全部中間整數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 actual factorial through factor12 := mul(39916800, 12) 操作後 actual factorial through factor12 = 479001600 條件：無 把新正整數因子乘入前一階乘值，保留全部中間整數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 actual factorial through factor13 := mul(479001600, 13) 操作後 actual factorial through factor13 = 6227020800 條件：無 把新正整數因子乘入前一階乘值，保留全部中間整數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 single-factor-omitted product := div(6227020800, 12) 操作後 single-factor-omitted product = 518918400 條件：無 k在1至n因子列中恰出現一次且非零，除去這一因子即n!/k。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 restore omitted factor := mul(12, 518918400) 操作後 restore omitted factor = 6227020800 條件：無 把同一k乘回，核對完整乘積。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 restored product minus factorial := sub(6227020800, 6227020800) 操作後 restored product minus factorial = 0 條件：無 回乘值減真階乘應為0。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 removed factor k=12;full n!=6227020800 操作後 omitted product=518918400;restoration residual=0 條件：無 只省指定因子一次，不是把所有k的倍數因子一起省掉；以正整數除法和回乘雙向核對。 步驟識別與依賴規則：single_factor_removal_reverse_audit · 依賴：G001, S018 ## 逐步反向核對 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 restored product minus factorial，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 restore omitted factor，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 single-factor-omitted product，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 actual factorial through factor13，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 actual factorial through factor12，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 actual factorial through factor11，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 actual factorial through factor10，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 actual factorial through factor9，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 actual factorial through factor8，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 actual factorial through factor7，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 actual factorial through factor6，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 actual factorial through factor5，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 actual factorial through factor4，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 actual factorial through factor3，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 actual factorial through factor2，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 actual factorial through factor1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (6227020800, 518918400, 0) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 2f0ca7c97845560747dba7139541c635676cca08a4558637424ef79e16cc660c - candidate record SHA-256: e29924cecb4007e8e1585e2421b267d3bb9f14360eaaa40253280a921b9f66c3 - semantic review receipt SHA-256: 90dbc494b2d34ef51f412dcff63cfcc1a2215d038bff71f38f5dded4c64faf00 - question-first witness SHA-256: b72a3b8bcf10f584396e0dd5198c657b0934a71864e5a3fa6321d7a613aef9f9 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261010-advance-20261014-r05-factorial-0087.json)