# 第 30304 題：三點距離與路徑差 [返回所在分頁 152](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/152/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261010-advance-20261014-r06-absolute-value-foundations/#q-20261010-advance-20261014-r06-absolute-value-0029) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0059-30304 · q-20261010-advance-20261014-r06-absolute-value-0029 ## 原題與已知條件 有理嵌入的絕對值協議；有序points=[0/1, 3/2, 4/2]。依序求 (d01, d12, d02, d01+d12−d02) 的精確有理數。 - G001 — 有理嵌入的絕對值協議；有序points=[0/1, 3/2, 4/2]。依序求 (d01, d12, d02, d01+d12−d02) 的精確有理數。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-absolute-value](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-absolute-value/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-density14-absolute-three-point-distances, density14_absolute_three_point_distances, finite_rational_absolute_protocol] 操作後 derived = [[distance_01, distance_12, distance_02, path_minus_direct]] 條件：無 保原bank的完整operation前綴、domain及輸出欄序；frame只用orthogonal_equal_unit，角度unit只用degrees。分數整數保/1；不增不存在的參數，不改原中英來源。 步驟識別與依賴規則：R59_EXACT_family_domain_FULLprefix_operation_and_answer_roles · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [Absolute original point0, [0, 1]] 操作後 derived = [0/1, 0, 1] 條件：無 原pair兩數SAFE且den非0；這個bank允許負den，先正分母約分才按值選sign。不套primitive正den或STR22 component cap。 步驟識別與依賴規則：Absolute_RAW_SAFE_pair_NONZERO_den_normalize_SIGN_and_gcd · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 source roles = [Absolute original point1, [3, 2]] 操作後 derived = [3/2, 3, 2] 條件：無 原pair兩數SAFE且den非0；這個bank允許負den，先正分母約分才按值選sign。不套primitive正den或STR22 component cap。 步驟識別與依賴規則：Absolute_RAW_SAFE_pair_NONZERO_den_normalize_SIGN_and_gcd · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 source roles = [Absolute original point2, [4, 2]] 操作後 derived = [2/1, 2, 1] 條件：無 原pair兩數SAFE且den非0；這個bank允許負den，先正分母約分才按值選sign。不套primitive正den或STR22 component cap。 步驟識別與依賴規則：Absolute_RAW_SAFE_pair_NONZERO_den_normalize_SIGN_and_gcd · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Absolute ORIGINAL point0 minus point1 := sub(0, 3/2) 操作後 Absolute ORIGINAL point0 minus point1 = -3/2 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Absolute segment01 ORIGINAL negative branch negation := sub(0, -3/2) 操作後 Absolute segment01 ORIGINAL negative branch negation = 3/2 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 source roles = [Absolute segment01, -3/2] 操作後 derived = [否, 3/2] 條件：無 以已正規化數值的sign選分段：x>=0保x，x<0取0-x；zero在非負分支，不因raw負分母而誤判。 步驟識別與依賴規則：Absolute_value_normalized_sign_branch_ZERO_is_nonnegative · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Absolute ORIGINAL point1 minus point2 := sub(3/2, 2) 操作後 Absolute ORIGINAL point1 minus point2 = -1/2 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Absolute segment12 ORIGINAL negative branch negation := sub(0, -1/2) 操作後 Absolute segment12 ORIGINAL negative branch negation = 1/2 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 source roles = [Absolute segment12, -1/2] 操作後 derived = [否, 1/2] 條件：無 以已正規化數值的sign選分段：x>=0保x，x<0取0-x；zero在非負分支，不因raw負分母而誤判。 步驟識別與依賴規則：Absolute_value_normalized_sign_branch_ZERO_is_nonnegative · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Absolute ORIGINAL point0 minus point2 := sub(0, 2) 操作後 Absolute ORIGINAL point0 minus point2 = -2 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Absolute segment02 ORIGINAL negative branch negation := sub(0, -2) 操作後 Absolute segment02 ORIGINAL negative branch negation = 2 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 source roles = [Absolute segment02, -2] 操作後 derived = [否, 2] 條件：無 以已正規化數值的sign選分段：x>=0保x，x<0取0-x；zero在非負分支，不因raw負分母而誤判。 步驟識別與依賴規則：Absolute_value_normalized_sign_branch_ZERO_is_nonnegative · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Absolute ORIGINAL two-segment path sum := sum(3/2, 1/2) 操作後 Absolute ORIGINAL two-segment path sum = 2 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Absolute ORIGINAL path minus endpoint distance := sub(2, 2) 操作後 Absolute ORIGINAL path minus endpoint distance = 0 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 source roles = [[0/1, 3/2, 2/1]] 操作後 derived = [[3/2, 1/2, 2/1], 0/1] 條件：無 每段各自取abs；前兩段和不是第三段端點距離，gap以原路徑次序求。此完整有限有理實例不冒充一般三角不等式的形式證明。 步驟識別與依賴規則：Absolute_THREE_original_distances_AND_signed_path_defect · 依賴：G001, S015 ## 逐步反向核對 - S016 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Absolute ORIGINAL path minus endpoint distance，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Absolute ORIGINAL two-segment path sum，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Absolute segment02 ORIGINAL negative branch negation，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Absolute ORIGINAL point0 minus point2，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Absolute segment12 ORIGINAL negative branch negation，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Absolute ORIGINAL point1 minus point2，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Absolute segment01 ORIGINAL negative branch negation，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Absolute ORIGINAL point0 minus point1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 - S003 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 - S002 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 - S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 ## 結論 (3/2, 1/2, 2/1, 0/1) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 1a4037bc4c87de98991940b2f06ea9ca38647c7b24b98701973203a3cd3d885b - candidate record SHA-256: 754c55350a60362852230145cdd625dfcb61d80ee104eb0624171ebe86bc5f72 - semantic review receipt SHA-256: 4c93dea3956f58509e20b3b8bbbf716dbc340b424a2a5177bc04aba9e8ea9ec5 - question-first witness SHA-256: a5e56e0d64d622d7202840cef7019839c5a99244c602694190779155207dafdf - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261010-advance-20261014-r06-absolute-value-0029.json)