# 第 30481 題：三點殘差與圓邊界資格 [返回所在分頁 153](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/153/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261010-advance-20261014-r07-circle-foundations/#q-20261010-advance-20261014-r07-circle-0006) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0059-30481 · q-20261010-advance-20261014-r07-circle-0006 ## 原題與已知條件 圓邊界不是圓盤；非負整數半徑；歐氏等單位正交L2；O=[1, 0]、r=5，points=[[1, 0], [6, 0], [7, 1]]。依序列 (三個平方距離D, 三個D−r², 內／圓上／外, 圓邊界資格)。 - G001 — 圓邊界不是圓盤；非負整數半徑；歐氏等單位正交L2；O=[1, 0]、r=5，points=[[1, 0], [6, 0], [7, 1]]。依序列 (三個平方距離D, 三個D−r², 內／圓上／外, 圓邊界資格)。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-circle](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-circle/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-density14-circle-offset-residual-triple, density14_circle_offset_residual_triple, finite_integer_circle_boundary_protocol] 操作後 derived = [[ALL_squared_distances, ALL_signed_residuals, ALL_location_labels, ALL_boundary_flags]] 條件：無 保原bank的完整operation前綴、domain及輸出欄序；frame只用orthogonal_equal_unit，角度unit只用degrees。分數整數保/1；不增不存在的參數，不改原中英來源。 步驟識別與依賴規則：R59_EXACT_family_domain_FULLprefix_operation_and_answer_roles · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Circle ORIGINAL nonnegative radius squared := mul(5, 5) 操作後 Circle ORIGINAL nonnegative radius squared = 25 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 source roles = [5, orthogonal_equal_unit] 操作後 derived = [25] 條件：無 此處圓是L2距離平方等於r²的boundary，不是<=的圓盤。半徑非負且0合法；r0只有中心在boundary，衍生坐標／平方不限SAFE。 步驟識別與依賴規則：Circle_BOUNDARY_not_disk_and_zero_radius_SINGLEcenter · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Circle ORIGINAL center to point0 ORIGINAL Q minus P coordinate0 := sub(1, 1) 操作後 Circle ORIGINAL center to point0 ORIGINAL Q minus P coordinate0 = 0 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Circle ORIGINAL center to point0 ORIGINAL Q minus P coordinate1 := sub(0, 0) 操作後 Circle ORIGINAL center to point0 ORIGINAL Q minus P coordinate1 = 0 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Circle ORIGINAL center to point0 ORIGINAL square coordinate0 := mul(0, 0) 操作後 Circle ORIGINAL center to point0 ORIGINAL square coordinate0 = 0 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Circle ORIGINAL center to point0 ORIGINAL square coordinate1 := mul(0, 0) 操作後 Circle ORIGINAL center to point0 ORIGINAL square coordinate1 = 0 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Circle ORIGINAL center to point0 ORIGINAL squared norm sum := sum(0, 0) 操作後 Circle ORIGINAL center to point0 ORIGINAL squared norm sum = 0 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 source roles = [Circle ORIGINAL center to point0, [1, 0], [1, 0]] 操作後 derived = [[0, 0], 0] 條件：無 同一等單位正交L2 frame，位移是Q-P保符號；兩平方和才是非負長度平方。純衍生coordinate可超SAFE，不重新驗raw界。 步驟識別與依賴規則：Euclidean_DIRECTED_displacement_then_SQUARED_nonnegative_norm · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Circle ORIGINAL point0 square minus radius square := sub(0, 25) 操作後 Circle ORIGINAL point0 square minus radius square = -25 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 source roles = [[1, 0], 5, [1, 0], 0, -25] 操作後 derived = [內, 否] 條件：無 殘差<0只分類inside，並非boundary成員；=0才on-boundary且Yes，>0outside且No。逐原point都驗，包含zero-radius中心。 步驟識別與依賴規則：Circle_EACH_signed_square_residual_location_AND_BOUNDARY_membership · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Circle ORIGINAL center to point1 ORIGINAL Q minus P coordinate0 := sub(6, 1) 操作後 Circle ORIGINAL center to point1 ORIGINAL Q minus P coordinate0 = 5 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Circle ORIGINAL center to point1 ORIGINAL Q minus P coordinate1 := sub(0, 0) 操作後 Circle ORIGINAL center to point1 ORIGINAL Q minus P coordinate1 = 0 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Circle ORIGINAL center to point1 ORIGINAL square coordinate0 := mul(5, 5) 操作後 Circle ORIGINAL center to point1 ORIGINAL square coordinate0 = 25 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Circle ORIGINAL center to point1 ORIGINAL square coordinate1 := mul(0, 0) 操作後 Circle ORIGINAL center to point1 ORIGINAL square coordinate1 = 0 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Circle ORIGINAL center to point1 ORIGINAL squared norm sum := sum(25, 0) 操作後 Circle ORIGINAL center to point1 ORIGINAL squared norm sum = 25 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 source roles = [Circle ORIGINAL center to point1, [1, 0], [6, 0]] 操作後 derived = [[5, 0], 25] 條件：無 同一等單位正交L2 frame，位移是Q-P保符號；兩平方和才是非負長度平方。純衍生coordinate可超SAFE，不重新驗raw界。 步驟識別與依賴規則：Euclidean_DIRECTED_displacement_then_SQUARED_nonnegative_norm · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Circle ORIGINAL point1 square minus radius square := sub(25, 25) 操作後 Circle ORIGINAL point1 square minus radius square = 0 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 source roles = [[1, 0], 5, [6, 0], 25, 0] 操作後 derived = [圓上, 是] 條件：無 殘差<0只分類inside，並非boundary成員；=0才on-boundary且Yes，>0outside且No。逐原point都驗，包含zero-radius中心。 步驟識別與依賴規則：Circle_EACH_signed_square_residual_location_AND_BOUNDARY_membership · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Circle ORIGINAL center to point2 ORIGINAL Q minus P coordinate0 := sub(7, 1) 操作後 Circle ORIGINAL center to point2 ORIGINAL Q minus P coordinate0 = 6 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Circle ORIGINAL center to point2 ORIGINAL Q minus P coordinate1 := sub(1, 0) 操作後 Circle ORIGINAL center to point2 ORIGINAL Q minus P coordinate1 = 1 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Circle ORIGINAL center to point2 ORIGINAL square coordinate0 := mul(6, 6) 操作後 Circle ORIGINAL center to point2 ORIGINAL square coordinate0 = 36 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Circle ORIGINAL center to point2 ORIGINAL square coordinate1 := mul(1, 1) 操作後 Circle ORIGINAL center to point2 ORIGINAL square coordinate1 = 1 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 Circle ORIGINAL center to point2 ORIGINAL squared norm sum := sum(36, 1) 操作後 Circle ORIGINAL center to point2 ORIGINAL squared norm sum = 37 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 source roles = [Circle ORIGINAL center to point2, [1, 0], [7, 1]] 操作後 derived = [[6, 1], 37] 條件：無 同一等單位正交L2 frame，位移是Q-P保符號；兩平方和才是非負長度平方。純衍生coordinate可超SAFE，不重新驗raw界。 步驟識別與依賴規則：Euclidean_DIRECTED_displacement_then_SQUARED_nonnegative_norm · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 Circle ORIGINAL point2 square minus radius square := sub(37, 25) 操作後 Circle ORIGINAL point2 square minus radius square = 12 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 source roles = [[1, 0], 5, [7, 1], 37, 12] 操作後 derived = [外, 否] 條件：無 殘差<0只分類inside，並非boundary成員；=0才on-boundary且Yes，>0outside且No。逐原point都驗，包含zero-radius中心。 步驟識別與依賴規則：Circle_EACH_signed_square_residual_location_AND_BOUNDARY_membership · 依賴：G001, S026 ## 逐步反向核對 - S027 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL point2 square minus radius square，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL center to point2 ORIGINAL squared norm sum，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL center to point2 ORIGINAL square coordinate1，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL center to point2 ORIGINAL square coordinate0，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL center to point2 ORIGINAL Q minus P coordinate1，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL center to point2 ORIGINAL Q minus P coordinate0，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL point1 square minus radius square，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL center to point1 ORIGINAL squared norm sum，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL center to point1 ORIGINAL square coordinate1，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL center to point1 ORIGINAL square coordinate0，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL center to point1 ORIGINAL Q minus P coordinate1，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL center to point1 ORIGINAL Q minus P coordinate0，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL point0 square minus radius square，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL center to point0 ORIGINAL squared norm sum，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL center to point0 ORIGINAL square coordinate1，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL center to point0 ORIGINAL square coordinate0，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL center to point0 ORIGINAL Q minus P coordinate1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL center to point0 ORIGINAL Q minus P coordinate0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL nonnegative radius squared，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 ## 結論 ([0, 25, 37], [-25, 0, 12], [內, 圓上, 外], [否, 是, 否]) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 89142d1e0ad8df21fac7b9f9215599bb31f30477909517c71ff0a96ba1409e9c - candidate record SHA-256: 208d083f7a426cff543f690d425397f6b81e676a4590186edf8e63f88b3496f7 - semantic review receipt SHA-256: 4c93dea3956f58509e20b3b8bbbf716dbc340b424a2a5177bc04aba9e8ea9ec5 - question-first witness SHA-256: a5e56e0d64d622d7202840cef7019839c5a99244c602694190779155207dafdf - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261010-advance-20261014-r07-circle-0006.json)