# 第 30442 題：軸向對徑端點與直徑 [返回所在分頁 153](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/153/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261010-advance-20261014-r07-circle-foundations/#q-20261010-advance-20261014-r07-circle-0042) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0059-30442 · q-20261010-advance-20261014-r07-circle-0042 ## 原題與已知條件 圓邊界不是圓盤；非負整數半徑；歐氏等單位正交L2；O=[-2, 4]、r=16、axis=x。依序求 (正軸端點, 負軸端點, 端點平方距離, 直徑)。零半徑兩端同一點。 - G001 — 圓邊界不是圓盤；非負整數半徑；歐氏等單位正交L2；O=[-2, 4]、r=16、axis=x。依序求 (正軸端點, 負軸端點, 端點平方距離, 直徑)。零半徑兩端同一點。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-circle](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-circle/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-density14-circle-axis-antipodal-pair, density14_circle_axis_antipodal_pair, finite_integer_circle_boundary_protocol] 操作後 derived = [[PLUS_axis_endpoint, MINUS_axis_endpoint, SQUARED_separation, diameter]] 條件：無 保原bank的完整operation前綴、domain及輸出欄序；frame只用orthogonal_equal_unit，角度unit只用degrees。分數整數保/1；不增不存在的參數，不改原中英來源。 步驟識別與依賴規則：R59_EXACT_family_domain_FULLprefix_operation_and_answer_roles · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Circle ORIGINAL nonnegative radius squared := mul(16, 16) 操作後 Circle ORIGINAL nonnegative radius squared = 256 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 source roles = [16, orthogonal_equal_unit] 操作後 derived = [256] 條件：無 此處圓是L2距離平方等於r²的boundary，不是<=的圓盤。半徑非負且0合法；r0只有中心在boundary，衍生坐標／平方不限SAFE。 步驟識別與依賴規則：Circle_BOUNDARY_not_disk_and_zero_radius_SINGLEcenter · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Circle ORIGINAL positive-axis endpoint := sum(-2, 16) 操作後 Circle ORIGINAL positive-axis endpoint = 14 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Circle ORIGINAL negative-axis endpoint := sub(-2, 16) 操作後 Circle ORIGINAL negative-axis endpoint = -18 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Circle antipodal endpoints ORIGINAL Q minus P coordinate0 := sub(-18, 14) 操作後 Circle antipodal endpoints ORIGINAL Q minus P coordinate0 = -32 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Circle antipodal endpoints ORIGINAL Q minus P coordinate1 := sub(4, 4) 操作後 Circle antipodal endpoints ORIGINAL Q minus P coordinate1 = 0 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Circle antipodal endpoints ORIGINAL square coordinate0 := mul(-32, -32) 操作後 Circle antipodal endpoints ORIGINAL square coordinate0 = 1024 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Circle antipodal endpoints ORIGINAL square coordinate1 := mul(0, 0) 操作後 Circle antipodal endpoints ORIGINAL square coordinate1 = 0 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Circle antipodal endpoints ORIGINAL squared norm sum := sum(1024, 0) 操作後 Circle antipodal endpoints ORIGINAL squared norm sum = 1024 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 source roles = [Circle antipodal endpoints, [14, 4], [-18, 4]] 操作後 derived = [[-32, 0], 1024] 條件：無 同一等單位正交L2 frame，位移是Q-P保符號；兩平方和才是非負長度平方。純衍生coordinate可超SAFE，不重新驗raw界。 步驟識別與依賴規則：Euclidean_DIRECTED_displacement_then_SQUARED_nonnegative_norm · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Circle ORIGINAL diameter twice radius := mul(2, 16) 操作後 Circle ORIGINAL diameter twice radius = 32 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Circle reverse diameter squared := mul(32, 32) 操作後 Circle reverse diameter squared = 1024 條件：無 按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 source roles = [[-2, 4], 16, x] 操作後 derived = [[14, 4], [-18, 4], 1024, 32] 條件：無 先正axis端點再負axis端點，不按坐標排序。兩點差的平方長為(2r)²，但diameter是非負2r，不是4r²；r0兩端點相同仍保兩個角色，不造distinct points。 步驟識別與依賴規則：Circle_ORDERED_plus_minus_endpoints_SQUARED_separation_VS_diameter · 依賴：G001, S013 ## 逐步反向核對 - S014 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle reverse diameter squared，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL diameter twice radius，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle antipodal endpoints ORIGINAL squared norm sum，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle antipodal endpoints ORIGINAL square coordinate1，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle antipodal endpoints ORIGINAL square coordinate0，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle antipodal endpoints ORIGINAL Q minus P coordinate1，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle antipodal endpoints ORIGINAL Q minus P coordinate0，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL negative-axis endpoint，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL positive-axis endpoint，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL nonnegative radius squared，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。 ## 結論 ([14, 4], [-18, 4], 1024, 32) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: df763eb01eaa94e201ab838bba0ba9b51c1b4899521f1c3361adc63ba35369ac - candidate record SHA-256: 14656a7f06d5f65746d08b623cc64f032f18a6742d0192a9aa22200bd2b60311 - semantic review receipt SHA-256: 4c93dea3956f58509e20b3b8bbbf716dbc340b424a2a5177bc04aba9e8ea9ec5 - question-first witness SHA-256: a5e56e0d64d622d7202840cef7019839c5a99244c602694190779155207dafdf - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261010-advance-20261014-r07-circle-0042.json)