# 第 30906 題：有序無序與排序因子 [返回所在分頁 155](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/155/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261011-advance-20261015-r06-permutation-combination-foundations/#q-20261011-advance-20261015-r06-permutation-combination-0006) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0060-30906 · q-20261011-advance-20261015-r06-permutation-combination-0006 ## 原題與已知條件 相異標記物件無放回，有序與無序分開。n=6、k=3，model=distinct_without_replacement。求 (P(n,k), C(n,k), k!, k=0空選資格)。 - G001 — 相異標記物件無放回，有序與無序分開。n=6、k=3，model=distinct_without_replacement。求 (P(n,k), C(n,k), k!, k=0空選資格)。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-permutation-combination](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-permutation-combination/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-density15-selection-order-factor-triple, density15_selection_order_factor_triple, finite_distinct_selection_protocol] 操作後 derived = [[ordered_count, unordered_count, ordering_factor, empty_selection]] 條件：無 density14/15用full-prefix underscores，density17用local hyphens。coordinate frame與circle frame不同，輸出欄序／型別依本family，不改原中英／JSON／status。 步驟識別與依賴規則：R60_EXACT_perbank_operation_domain_FRAME_and_output_roles · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Selection original full ordered ORIGINAL available-choice factor0 := mul(1, 6) 操作後 Selection original full ordered ORIGINAL available-choice factor0 = 6 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Selection original full ordered ORIGINAL available-choice factor1 := mul(6, 5) 操作後 Selection original full ordered ORIGINAL available-choice factor1 = 30 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Selection original full ordered ORIGINAL available-choice factor2 := mul(30, 4) 操作後 Selection original full ordered ORIGINAL available-choice factor2 = 120 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 source roles = [Selection original full ordered, 6, 3] 操作後 derived = [[6, 5, 4], 120] 條件：無 第j位置有n-j個未用相異標記物件，完整乘k個choices；k0只有一個空ordered tuple。這不是可重複或環形／不可區分模型。 步驟識別與依賴規則：Selection_ORDERED_distinct_without_replacement_available_choices · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Selection original unordered ordered ORIGINAL available-choice factor0 := mul(1, 6) 操作後 Selection original unordered ordered ORIGINAL available-choice factor0 = 6 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Selection original unordered ordered ORIGINAL available-choice factor1 := mul(6, 5) 操作後 Selection original unordered ordered ORIGINAL available-choice factor1 = 30 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Selection original unordered ordered ORIGINAL available-choice factor2 := mul(30, 4) 操作後 Selection original unordered ordered ORIGINAL available-choice factor2 = 120 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 source roles = [Selection original unordered ordered, 6, 3] 操作後 derived = [[6, 5, 4], 120] 條件：無 第j位置有n-j個未用相異標記物件，完整乘k個choices；k0只有一個空ordered tuple。這不是可重複或環形／不可區分模型。 步驟識別與依賴規則：Selection_ORDERED_distinct_without_replacement_available_choices · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Selection original unordered within-subset ORIGINAL factorial factor2 := mul(1, 2) 操作後 Selection original unordered within-subset ORIGINAL factorial factor2 = 2 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Selection original unordered within-subset ORIGINAL factorial factor3 := mul(2, 3) 操作後 Selection original unordered within-subset ORIGINAL factorial factor3 = 6 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 source roles = [Selection original unordered within-subset, 3] 操作後 derived = [6] 條件：無 完整乘2..n，n0或1是空積1；精確BigInt不作浮點、也不把衍生count截SAFE。 步驟識別與依賴規則：Selection_factorial_COMPLETE_integer_product_EMPTY0factorial1 · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Selection original unordered ORIGINAL exact ordered over k factorial := div(120, 6) 操作後 Selection original unordered ORIGINAL exact ordered over k factorial = 20 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Selection original unordered reverse unordered times k factorial := mul(20, 6) 操作後 Selection original unordered reverse unordered times k factorial = 120 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 source roles = [Selection original unordered, 6, 3, 120, 6] 操作後 derived = [20, 120] 條件：無 每個k-subset有恰k!個orderings，所以P/k!整除為C；反乘回P驗證。空subset與空ordering各一種，不自行改成概率模型。 步驟識別與依賴規則：Selection_UNORDERED_each_subset_has_kfactorial_orderings · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Selection original ordering factor ORIGINAL factorial factor2 := mul(1, 2) 操作後 Selection original ordering factor ORIGINAL factorial factor2 = 2 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Selection original ordering factor ORIGINAL factorial factor3 := mul(2, 3) 操作後 Selection original ordering factor ORIGINAL factorial factor3 = 6 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 source roles = [Selection original ordering factor, 3] 操作後 derived = [6] 條件：無 完整乘2..n，n0或1是空積1；精確BigInt不作浮點、也不把衍生count截SAFE。 步驟識別與依賴規則：Selection_factorial_COMPLETE_integer_product_EMPTY0factorial1 · 依賴：G001, S017 ## 逐步反向核對 - S018 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection original ordering factor ORIGINAL factorial factor3，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection original ordering factor ORIGINAL factorial factor2，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection original unordered reverse unordered times k factorial，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection original unordered ORIGINAL exact ordered over k factorial，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection original unordered within-subset ORIGINAL factorial factor3，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection original unordered within-subset ORIGINAL factorial factor2，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection original unordered ordered ORIGINAL available-choice factor2，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection original unordered ordered ORIGINAL available-choice factor1，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection original unordered ordered ORIGINAL available-choice factor0，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection original full ordered ORIGINAL available-choice factor2，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection original full ordered ORIGINAL available-choice factor1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection original full ordered ORIGINAL available-choice factor0，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 ## 結論 (120, 20, 6, 否) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: ee3bdf1d6296b03b5cb1753854842bd6729f1e039fbc67a461e8e133cbf61a95 - candidate record SHA-256: 82768cb55c0b15fead38525b1916802fccd0f414198018b0d3762acc26a19dbd - semantic review receipt SHA-256: d6b5a409bf933281a46617cd715d8016fd5ca3d6fb76f77d179ac2ecd9d608bf - question-first witness SHA-256: f80ecf598c6893a580af018e1a82849b33ee6887efb48a6a1d69569aa17f12e4 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261011-advance-20261015-r06-permutation-combination-0006.json)