# 第 30878 題：含排固定物件的分割 [返回所在分頁 155](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/155/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261011-advance-20261015-r06-permutation-combination-foundations/#q-20261011-advance-20261015-r06-permutation-combination-0053) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0060-30878 · q-20261011-advance-20261015-r06-permutation-combination-0053 ## 原題與已知條件 相異標記物件無放回，有序與無序分開。n=20≥1、k=10、model=distinct_without_replacement，指定已存在標記0。求 (全組合數, 含0組合數, 排0組合數, 兩部分和減全數)。 - G001 — 相異標記物件無放回，有序與無序分開。n=20≥1、k=10、model=distinct_without_replacement，指定已存在標記0。求 (全組合數, 含0組合數, 排0組合數, 兩部分和減全數)。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-permutation-combination](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-permutation-combination/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-density15-selection-one-distinguished-counts, density15_selection_one_distinguished_counts, finite_distinct_selection_protocol] 操作後 derived = [[total, included_label0, excluded_label0, partition_defect]] 條件：無 density14/15用full-prefix underscores，density17用local hyphens。coordinate frame與circle frame不同，輸出欄序／型別依本family，不改原中英／JSON／status。 步驟識別與依賴規則：R60_EXACT_perbank_operation_domain_FRAME_and_output_roles · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor0 := mul(1, 20) 操作後 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor0 = 20 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor1 := mul(20, 19) 操作後 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor1 = 380 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor2 := mul(380, 18) 操作後 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor2 = 6840 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor3 := mul(6840, 17) 操作後 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor3 = 116280 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor4 := mul(116280, 16) 操作後 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor4 = 1860480 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor5 := mul(1860480, 15) 操作後 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor5 = 27907200 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor6 := mul(27907200, 14) 操作後 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor6 = 390700800 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor7 := mul(390700800, 13) 操作後 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor7 = 5079110400 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor8 := mul(5079110400, 12) 操作後 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor8 = 60949324800 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor9 := mul(60949324800, 11) 操作後 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor9 = 670442572800 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 source roles = [Selection all subsets ordered, 20, 10] 操作後 derived = [[20, 19, 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11], 670442572800] 條件：無 第j位置有n-j個未用相異標記物件，完整乘k個choices；k0只有一個空ordered tuple。這不是可重複或環形／不可區分模型。 步驟識別與依賴規則：Selection_ORDERED_distinct_without_replacement_available_choices · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Selection all subsets within-subset ORIGINAL factorial factor2 := mul(1, 2) 操作後 Selection all subsets within-subset ORIGINAL factorial factor2 = 2 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Selection all subsets within-subset ORIGINAL factorial factor3 := mul(2, 3) 操作後 Selection all subsets within-subset ORIGINAL factorial factor3 = 6 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Selection all subsets within-subset ORIGINAL factorial factor4 := mul(6, 4) 操作後 Selection all subsets within-subset ORIGINAL factorial factor4 = 24 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Selection all subsets within-subset ORIGINAL factorial factor5 := mul(24, 5) 操作後 Selection all subsets within-subset ORIGINAL factorial factor5 = 120 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Selection all subsets within-subset ORIGINAL factorial factor6 := mul(120, 6) 操作後 Selection all subsets within-subset ORIGINAL factorial factor6 = 720 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Selection all subsets within-subset ORIGINAL factorial factor7 := mul(720, 7) 操作後 Selection all subsets within-subset ORIGINAL factorial factor7 = 5040 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Selection all subsets within-subset ORIGINAL factorial factor8 := mul(5040, 8) 操作後 Selection all subsets within-subset ORIGINAL factorial factor8 = 40320 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Selection all subsets within-subset ORIGINAL factorial factor9 := mul(40320, 9) 操作後 Selection all subsets within-subset ORIGINAL factorial factor9 = 362880 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Selection all subsets within-subset ORIGINAL factorial factor10 := mul(362880, 10) 操作後 Selection all subsets within-subset ORIGINAL factorial factor10 = 3628800 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 source roles = [Selection all subsets within-subset, 10] 操作後 derived = [3628800] 條件：無 完整乘2..n，n0或1是空積1；精確BigInt不作浮點、也不把衍生count截SAFE。 步驟識別與依賴規則：Selection_factorial_COMPLETE_integer_product_EMPTY0factorial1 · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Selection all subsets ORIGINAL exact ordered over k factorial := div(670442572800, 3628800) 操作後 Selection all subsets ORIGINAL exact ordered over k factorial = 184756 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 Selection all subsets reverse unordered times k factorial := mul(184756, 3628800) 操作後 Selection all subsets reverse unordered times k factorial = 670442572800 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 source roles = [Selection all subsets, 20, 10, 670442572800, 3628800] 操作後 derived = [184756, 670442572800] 條件：無 每個k-subset有恰k!個orderings，所以P/k!整除為C；反乘回P驗證。空subset與空ordering各一種，不自行改成概率模型。 步驟識別與依賴規則：Selection_UNORDERED_each_subset_has_kfactorial_orderings · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 Selection subsets INCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor0 := mul(1, 19) 操作後 Selection subsets INCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor0 = 19 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Selection subsets INCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor1 := mul(19, 18) 操作後 Selection subsets INCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor1 = 342 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 Selection subsets INCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor2 := mul(342, 17) 操作後 Selection subsets INCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor2 = 5814 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Selection subsets INCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor3 := mul(5814, 16) 操作後 Selection subsets INCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor3 = 93024 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 Selection subsets INCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor4 := mul(93024, 15) 操作後 Selection subsets INCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor4 = 1395360 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 Selection subsets INCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor5 := mul(1395360, 14) 操作後 Selection subsets INCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor5 = 19535040 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 Selection subsets INCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor6 := mul(19535040, 13) 操作後 Selection subsets INCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor6 = 253955520 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 Selection subsets INCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor7 := mul(253955520, 12) 操作後 Selection subsets INCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor7 = 3047466240 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 Selection subsets INCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor8 := mul(3047466240, 11) 操作後 Selection subsets INCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor8 = 33522128640 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · implies操作前 source roles = [Selection subsets INCLUDING label0 ordered, 19, 9] 操作後 derived = [[19, 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11], 33522128640] 條件：無 第j位置有n-j個未用相異標記物件，完整乘k個choices；k0只有一個空ordered tuple。這不是可重複或環形／不可區分模型。 步驟識別與依賴規則：Selection_ORDERED_distinct_without_replacement_available_choices · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 Selection subsets INCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor2 := mul(1, 2) 操作後 Selection subsets INCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor2 = 2 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 Selection subsets INCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor3 := mul(2, 3) 操作後 Selection subsets INCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor3 = 6 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 Selection subsets INCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor4 := mul(6, 4) 操作後 Selection subsets INCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor4 = 24 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 Selection subsets INCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor5 := mul(24, 5) 操作後 Selection subsets INCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor5 = 120 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 Selection subsets INCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor6 := mul(120, 6) 操作後 Selection subsets INCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor6 = 720 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 Selection subsets INCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor7 := mul(720, 7) 操作後 Selection subsets INCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor7 = 5040 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 Selection subsets INCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor8 := mul(5040, 8) 操作後 Selection subsets INCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor8 = 40320 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 Selection subsets INCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor9 := mul(40320, 9) 操作後 Selection subsets INCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor9 = 362880 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · implies操作前 source roles = [Selection subsets INCLUDING label0 within-subset, 9] 操作後 derived = [362880] 條件：無 完整乘2..n，n0或1是空積1；精確BigInt不作浮點、也不把衍生count截SAFE。 步驟識別與依賴規則：Selection_factorial_COMPLETE_integer_product_EMPTY0factorial1 · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 Selection subsets INCLUDING label0 ORIGINAL exact ordered over k factorial := div(33522128640, 362880) 操作後 Selection subsets INCLUDING label0 ORIGINAL exact ordered over k factorial = 92378 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 Selection subsets INCLUDING label0 reverse unordered times k factorial := mul(92378, 362880) 操作後 Selection subsets INCLUDING label0 reverse unordered times k factorial = 33522128640 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · implies操作前 source roles = [Selection subsets INCLUDING label0, 19, 9, 33522128640, 362880] 操作後 derived = [92378, 33522128640] 條件：無 每個k-subset有恰k!個orderings，所以P/k!整除為C；反乘回P驗證。空subset與空ordering各一種，不自行改成概率模型。 步驟識別與依賴規則：Selection_UNORDERED_each_subset_has_kfactorial_orderings · 依賴：G001, S046 S048 · calculation操作前 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor0 := mul(1, 19) 操作後 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor0 = 19 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047 S049 · calculation操作前 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor1 := mul(19, 18) 操作後 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor1 = 342 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048 S050 · calculation操作前 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor2 := mul(342, 17) 操作後 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor2 = 5814 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049 S051 · calculation操作前 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor3 := mul(5814, 16) 操作後 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor3 = 93024 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050 S052 · calculation操作前 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor4 := mul(93024, 15) 操作後 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor4 = 1395360 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S051 S053 · calculation操作前 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor5 := mul(1395360, 14) 操作後 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor5 = 19535040 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052 S054 · calculation操作前 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor6 := mul(19535040, 13) 操作後 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor6 = 253955520 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S053 S055 · calculation操作前 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor7 := mul(253955520, 12) 操作後 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor7 = 3047466240 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054 S056 · calculation操作前 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor8 := mul(3047466240, 11) 操作後 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor8 = 33522128640 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S055 S057 · calculation操作前 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor9 := mul(33522128640, 10) 操作後 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor9 = 335221286400 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056 S058 · implies操作前 source roles = [Selection subsets EXCLUDING label0 ordered, 19, 10] 操作後 derived = [[19, 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10], 335221286400] 條件：無 第j位置有n-j個未用相異標記物件，完整乘k個choices；k0只有一個空ordered tuple。這不是可重複或環形／不可區分模型。 步驟識別與依賴規則：Selection_ORDERED_distinct_without_replacement_available_choices · 依賴：G001, S057 S059 · calculation操作前 Selection subsets EXCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor2 := mul(1, 2) 操作後 Selection subsets EXCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor2 = 2 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S058 S060 · calculation操作前 Selection subsets EXCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor3 := mul(2, 3) 操作後 Selection subsets EXCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor3 = 6 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S059 S061 · calculation操作前 Selection subsets EXCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor4 := mul(6, 4) 操作後 Selection subsets EXCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor4 = 24 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S060 S062 · calculation操作前 Selection subsets EXCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor5 := mul(24, 5) 操作後 Selection subsets EXCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor5 = 120 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S061 S063 · calculation操作前 Selection subsets EXCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor6 := mul(120, 6) 操作後 Selection subsets EXCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor6 = 720 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062 S064 · calculation操作前 Selection subsets EXCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor7 := mul(720, 7) 操作後 Selection subsets EXCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor7 = 5040 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S063 S065 · calculation操作前 Selection subsets EXCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor8 := mul(5040, 8) 操作後 Selection subsets EXCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor8 = 40320 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S064 S066 · calculation操作前 Selection subsets EXCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor9 := mul(40320, 9) 操作後 Selection subsets EXCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor9 = 362880 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S065 S067 · calculation操作前 Selection subsets EXCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor10 := mul(362880, 10) 操作後 Selection subsets EXCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor10 = 3628800 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S066 S068 · implies操作前 source roles = [Selection subsets EXCLUDING label0 within-subset, 10] 操作後 derived = [3628800] 條件：無 完整乘2..n，n0或1是空積1；精確BigInt不作浮點、也不把衍生count截SAFE。 步驟識別與依賴規則：Selection_factorial_COMPLETE_integer_product_EMPTY0factorial1 · 依賴：G001, S067 S069 · calculation操作前 Selection subsets EXCLUDING label0 ORIGINAL exact ordered over k factorial := div(335221286400, 3628800) 操作後 Selection subsets EXCLUDING label0 ORIGINAL exact ordered over k factorial = 92378 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S068 S070 · calculation操作前 Selection subsets EXCLUDING label0 reverse unordered times k factorial := mul(92378, 3628800) 操作後 Selection subsets EXCLUDING label0 reverse unordered times k factorial = 335221286400 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S069 S071 · implies操作前 source roles = [Selection subsets EXCLUDING label0, 19, 10, 335221286400, 3628800] 操作後 derived = [92378, 335221286400] 條件：無 每個k-subset有恰k!個orderings，所以P/k!整除為C；反乘回P驗證。空subset與空ordering各一種，不自行改成概率模型。 步驟識別與依賴規則：Selection_UNORDERED_each_subset_has_kfactorial_orderings · 依賴：G001, S070 S072 · calculation操作前 Selection ORIGINAL included plus excluded := sum(92378, 92378) 操作後 Selection ORIGINAL included plus excluded = 184756 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S071 S073 · calculation操作前 Selection ORIGINAL partition sum minus whole := sub(184756, 184756) 操作後 Selection ORIGINAL partition sum minus whole = 0 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S072 S074 · implies操作前 source roles = [20, 10] 操作後 derived = [184756, 92378, 92378, 0] 條件：無 n>=1才有既定label0；包含它先移去0後選k-1，不含它只從其他n-1選k。兩類互斥且全覆蓋，k0包含0類count0、k=n排除類count0都合法。 步驟識別與依賴規則：Selection_FIXED_EXISTING_label0_disjoint_complete_subset_partition · 依賴：G001, S073 ## 逐步反向核對 - S074 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection ORIGINAL partition sum minus whole，不以小數近似替代。 - S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection ORIGINAL included plus excluded，不以小數近似替代。 - S071 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S070 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets EXCLUDING label0 reverse unordered times k factorial，不以小數近似替代。 - S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets EXCLUDING label0 ORIGINAL exact ordered over k factorial，不以小數近似替代。 - S068 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets EXCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor10，不以小數近似替代。 - S066 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets EXCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor9，不以小數近似替代。 - S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets EXCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor8，不以小數近似替代。 - S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets EXCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor7，不以小數近似替代。 - S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets EXCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor6，不以小數近似替代。 - S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets EXCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor5，不以小數近似替代。 - S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets EXCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor4，不以小數近似替代。 - S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets EXCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor3，不以小數近似替代。 - S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets EXCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor2，不以小數近似替代。 - S058 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor9，不以小數近似替代。 - S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor8，不以小數近似替代。 - S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor7，不以小數近似替代。 - S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor6，不以小數近似替代。 - S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor5，不以小數近似替代。 - S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor4，不以小數近似替代。 - S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor3，不以小數近似替代。 - S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor2，不以小數近似替代。 - S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor1，不以小數近似替代。 - S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor0，不以小數近似替代。 - S047 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets INCLUDING label0 reverse unordered times k factorial，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets INCLUDING label0 ORIGINAL exact ordered over k factorial，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets INCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor9，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets INCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor8，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets INCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor7，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets INCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor6，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets INCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor5，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets INCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor4，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets INCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor3，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets INCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor2，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets INCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor8，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets INCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor7，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets INCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor6，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets INCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor5，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets INCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor4，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets INCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor3，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets INCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor2，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets INCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor1，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets INCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor0，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection all subsets reverse unordered times k factorial，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection all subsets ORIGINAL exact ordered over k factorial，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection all subsets within-subset ORIGINAL factorial factor10，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection all subsets within-subset ORIGINAL factorial factor9，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection all subsets within-subset ORIGINAL factorial factor8，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection all subsets within-subset ORIGINAL factorial factor7，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection all subsets within-subset ORIGINAL factorial factor6，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection all subsets within-subset ORIGINAL factorial factor5，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection all subsets within-subset ORIGINAL factorial factor4，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection all subsets within-subset ORIGINAL factorial factor3，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection all subsets within-subset ORIGINAL factorial factor2，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor9，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor8，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor7，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor6，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor5，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor4，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor3，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor2，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor0，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 ## 結論 (184756, 92378, 92378, 0) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 11a263caa4ed466e5d68682a20cd45e23c8f846fcc78b468cec2fbb2bd241104 - candidate record SHA-256: fc4ca684b4a3e074bde184660e9ed3ea426ea3de40af360fc8e9b39b01eb3468 - semantic review receipt SHA-256: d6b5a409bf933281a46617cd715d8016fd5ca3d6fb76f77d179ac2ecd9d608bf - question-first witness SHA-256: f80ecf598c6893a580af018e1a82849b33ee6887efb48a6a1d69569aa17f12e4 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261011-advance-20261015-r06-permutation-combination-0053.json)