# 第 30883 題：含排固定物件的分割 [返回所在分頁 155](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/155/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261011-advance-20261015-r06-permutation-combination-foundations/#q-20261011-advance-20261015-r06-permutation-combination-0058) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0060-30883 · q-20261011-advance-20261015-r06-permutation-combination-0058 ## 原題與已知條件 相異標記物件無放回，有序與無序分開。n=8≥1、k=3、model=distinct_without_replacement，指定已存在標記0。求 (全組合數, 含0組合數, 排0組合數, 兩部分和減全數)。 - G001 — 相異標記物件無放回，有序與無序分開。n=8≥1、k=3、model=distinct_without_replacement，指定已存在標記0。求 (全組合數, 含0組合數, 排0組合數, 兩部分和減全數)。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-permutation-combination](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-permutation-combination/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-density15-selection-one-distinguished-counts, density15_selection_one_distinguished_counts, finite_distinct_selection_protocol] 操作後 derived = [[total, included_label0, excluded_label0, partition_defect]] 條件：無 density14/15用full-prefix underscores，density17用local hyphens。coordinate frame與circle frame不同，輸出欄序／型別依本family，不改原中英／JSON／status。 步驟識別與依賴規則：R60_EXACT_perbank_operation_domain_FRAME_and_output_roles · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor0 := mul(1, 8) 操作後 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor0 = 8 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor1 := mul(8, 7) 操作後 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor1 = 56 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor2 := mul(56, 6) 操作後 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor2 = 336 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 source roles = [Selection all subsets ordered, 8, 3] 操作後 derived = [[8, 7, 6], 336] 條件：無 第j位置有n-j個未用相異標記物件，完整乘k個choices；k0只有一個空ordered tuple。這不是可重複或環形／不可區分模型。 步驟識別與依賴規則：Selection_ORDERED_distinct_without_replacement_available_choices · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Selection all subsets within-subset ORIGINAL factorial factor2 := mul(1, 2) 操作後 Selection all subsets within-subset ORIGINAL factorial factor2 = 2 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Selection all subsets within-subset ORIGINAL factorial factor3 := mul(2, 3) 操作後 Selection all subsets within-subset ORIGINAL factorial factor3 = 6 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 source roles = [Selection all subsets within-subset, 3] 操作後 derived = [6] 條件：無 完整乘2..n，n0或1是空積1；精確BigInt不作浮點、也不把衍生count截SAFE。 步驟識別與依賴規則：Selection_factorial_COMPLETE_integer_product_EMPTY0factorial1 · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Selection all subsets ORIGINAL exact ordered over k factorial := div(336, 6) 操作後 Selection all subsets ORIGINAL exact ordered over k factorial = 56 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Selection all subsets reverse unordered times k factorial := mul(56, 6) 操作後 Selection all subsets reverse unordered times k factorial = 336 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 source roles = [Selection all subsets, 8, 3, 336, 6] 操作後 derived = [56, 336] 條件：無 每個k-subset有恰k!個orderings，所以P/k!整除為C；反乘回P驗證。空subset與空ordering各一種，不自行改成概率模型。 步驟識別與依賴規則：Selection_UNORDERED_each_subset_has_kfactorial_orderings · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Selection subsets INCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor0 := mul(1, 7) 操作後 Selection subsets INCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor0 = 7 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Selection subsets INCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor1 := mul(7, 6) 操作後 Selection subsets INCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor1 = 42 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 source roles = [Selection subsets INCLUDING label0 ordered, 7, 2] 操作後 derived = [[7, 6], 42] 條件：無 第j位置有n-j個未用相異標記物件，完整乘k個choices；k0只有一個空ordered tuple。這不是可重複或環形／不可區分模型。 步驟識別與依賴規則：Selection_ORDERED_distinct_without_replacement_available_choices · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Selection subsets INCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor2 := mul(1, 2) 操作後 Selection subsets INCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor2 = 2 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 source roles = [Selection subsets INCLUDING label0 within-subset, 2] 操作後 derived = [2] 條件：無 完整乘2..n，n0或1是空積1；精確BigInt不作浮點、也不把衍生count截SAFE。 步驟識別與依賴規則：Selection_factorial_COMPLETE_integer_product_EMPTY0factorial1 · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Selection subsets INCLUDING label0 ORIGINAL exact ordered over k factorial := div(42, 2) 操作後 Selection subsets INCLUDING label0 ORIGINAL exact ordered over k factorial = 21 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Selection subsets INCLUDING label0 reverse unordered times k factorial := mul(21, 2) 操作後 Selection subsets INCLUDING label0 reverse unordered times k factorial = 42 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 source roles = [Selection subsets INCLUDING label0, 7, 2, 42, 2] 操作後 derived = [21, 42] 條件：無 每個k-subset有恰k!個orderings，所以P/k!整除為C；反乘回P驗證。空subset與空ordering各一種，不自行改成概率模型。 步驟識別與依賴規則：Selection_UNORDERED_each_subset_has_kfactorial_orderings · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor0 := mul(1, 7) 操作後 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor0 = 7 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor1 := mul(7, 6) 操作後 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor1 = 42 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor2 := mul(42, 5) 操作後 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor2 = 210 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 source roles = [Selection subsets EXCLUDING label0 ordered, 7, 3] 操作後 derived = [[7, 6, 5], 210] 條件：無 第j位置有n-j個未用相異標記物件，完整乘k個choices；k0只有一個空ordered tuple。這不是可重複或環形／不可區分模型。 步驟識別與依賴規則：Selection_ORDERED_distinct_without_replacement_available_choices · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 Selection subsets EXCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor2 := mul(1, 2) 操作後 Selection subsets EXCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor2 = 2 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Selection subsets EXCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor3 := mul(2, 3) 操作後 Selection subsets EXCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor3 = 6 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 source roles = [Selection subsets EXCLUDING label0 within-subset, 3] 操作後 derived = [6] 條件：無 完整乘2..n，n0或1是空積1；精確BigInt不作浮點、也不把衍生count截SAFE。 步驟識別與依賴規則：Selection_factorial_COMPLETE_integer_product_EMPTY0factorial1 · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Selection subsets EXCLUDING label0 ORIGINAL exact ordered over k factorial := div(210, 6) 操作後 Selection subsets EXCLUDING label0 ORIGINAL exact ordered over k factorial = 35 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 Selection subsets EXCLUDING label0 reverse unordered times k factorial := mul(35, 6) 操作後 Selection subsets EXCLUDING label0 reverse unordered times k factorial = 210 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · implies操作前 source roles = [Selection subsets EXCLUDING label0, 7, 3, 210, 6] 操作後 derived = [35, 210] 條件：無 每個k-subset有恰k!個orderings，所以P/k!整除為C；反乘回P驗證。空subset與空ordering各一種，不自行改成概率模型。 步驟識別與依賴規則：Selection_UNORDERED_each_subset_has_kfactorial_orderings · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 Selection ORIGINAL included plus excluded := sum(21, 35) 操作後 Selection ORIGINAL included plus excluded = 56 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 Selection ORIGINAL partition sum minus whole := sub(56, 56) 操作後 Selection ORIGINAL partition sum minus whole = 0 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · implies操作前 source roles = [8, 3] 操作後 derived = [56, 21, 35, 0] 條件：無 n>=1才有既定label0；包含它先移去0後選k-1，不含它只從其他n-1選k。兩類互斥且全覆蓋，k0包含0類count0、k=n排除類count0都合法。 步驟識別與依賴規則：Selection_FIXED_EXISTING_label0_disjoint_complete_subset_partition · 依賴：G001, S031 ## 逐步反向核對 - S032 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection ORIGINAL partition sum minus whole，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection ORIGINAL included plus excluded，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets EXCLUDING label0 reverse unordered times k factorial，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets EXCLUDING label0 ORIGINAL exact ordered over k factorial，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets EXCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor3，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets EXCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor2，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor2，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor1，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets EXCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor0，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets INCLUDING label0 reverse unordered times k factorial，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets INCLUDING label0 ORIGINAL exact ordered over k factorial，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets INCLUDING label0 within-subset ORIGINAL factorial factor2，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets INCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor1，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection subsets INCLUDING label0 ordered ORIGINAL available-choice factor0，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection all subsets reverse unordered times k factorial，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection all subsets ORIGINAL exact ordered over k factorial，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection all subsets within-subset ORIGINAL factorial factor3，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection all subsets within-subset ORIGINAL factorial factor2，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor2，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection all subsets ordered ORIGINAL available-choice factor0，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 ## 結論 (56, 21, 35, 0) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 228d6c3a0c087405cbb0e70be803b64241ea9d199e3c9bbb037da14d2f7ec699 - candidate record SHA-256: d5fa7d94a7b9141837bb580385112030671f59136616deef4226a19ea8736a90 - semantic review receipt SHA-256: d6b5a409bf933281a46617cd715d8016fd5ca3d6fb76f77d179ac2ecd9d608bf - question-first witness SHA-256: f80ecf598c6893a580af018e1a82849b33ee6887efb48a6a1d69569aa17f12e4 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261011-advance-20261015-r06-permutation-combination-0058.json)