# 第 30854 題：固定前序的完成計數 [返回所在分頁 155](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/155/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261011-advance-20261015-r06-permutation-combination-foundations/#q-20261011-advance-20261015-r06-permutation-combination-0079) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0060-30854 · q-20261011-advance-20261015-r06-permutation-combination-0079 ## 原題與已知條件 相異標記物件無放回，有序與無序分開。n=32、k=32、r=16、model=distinct_without_replacement，前r個位置固定原序標記=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15]。求 (剩餘物件數, 剩餘位置數, 完成數, 全有序數, 完成數/全數)。 - G001 — 相異標記物件無放回，有序與無序分開。n=32、k=32、r=16、model=distinct_without_replacement，前r個位置固定原序標記=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15]。求 (剩餘物件數, 剩餘位置數, 完成數, 全有序數, 完成數/全數)。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-permutation-combination](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-permutation-combination/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-density15-selection-forced-initial-order, density15_selection_forced_initial_order, finite_distinct_selection_protocol] 操作後 derived = [[remaining_objects, remaining_positions, completions, full_ordered_count, COUNT_ratio]] 條件：無 density14/15用full-prefix underscores，density17用local hyphens。coordinate frame與circle frame不同，輸出欄序／型別依本family，不改原中英／JSON／status。 步驟識別與依賴規則：R60_EXACT_perbank_operation_domain_FRAME_and_output_roles · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Selection prefix ORIGINAL n minus used r := sub(32, 16) 操作後 Selection prefix ORIGINAL n minus used r = 16 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Selection prefix ORIGINAL k minus filled r := sub(32, 16) 操作後 Selection prefix ORIGINAL k minus filled r = 16 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor0 := mul(1, 16) 操作後 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor0 = 16 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor1 := mul(16, 15) 操作後 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor1 = 240 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor2 := mul(240, 14) 操作後 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor2 = 3360 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor3 := mul(3360, 13) 操作後 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor3 = 43680 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor4 := mul(43680, 12) 操作後 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor4 = 524160 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor5 := mul(524160, 11) 操作後 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor5 = 5765760 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor6 := mul(5765760, 10) 操作後 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor6 = 57657600 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor7 := mul(57657600, 9) 操作後 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor7 = 518918400 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor8 := mul(518918400, 8) 操作後 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor8 = 4151347200 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor9 := mul(4151347200, 7) 操作後 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor9 = 29059430400 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor10 := mul(29059430400, 6) 操作後 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor10 = 174356582400 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor11 := mul(174356582400, 5) 操作後 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor11 = 871782912000 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor12 := mul(871782912000, 4) 操作後 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor12 = 3487131648000 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor13 := mul(3487131648000, 3) 操作後 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor13 = 10461394944000 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor14 := mul(10461394944000, 2) 操作後 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor14 = 20922789888000 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor15 := mul(20922789888000, 1) 操作後 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor15 = 20922789888000 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 source roles = [Selection prefix remaining ordered, 16, 16] 操作後 derived = [[16, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1], 20922789888000] 條件：無 第j位置有n-j個未用相異標記物件，完整乘k個choices；k0只有一個空ordered tuple。這不是可重複或環形／不可區分模型。 步驟識別與依賴規則：Selection_ORDERED_distinct_without_replacement_available_choices · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor0 := mul(1, 32) 操作後 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor0 = 32 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor1 := mul(32, 31) 操作後 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor1 = 992 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor2 := mul(992, 30) 操作後 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor2 = 29760 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor3 := mul(29760, 29) 操作後 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor3 = 863040 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor4 := mul(863040, 28) 操作後 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor4 = 24165120 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor5 := mul(24165120, 27) 操作後 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor5 = 652458240 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor6 := mul(652458240, 26) 操作後 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor6 = 16963914240 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor7 := mul(16963914240, 25) 操作後 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor7 = 424097856000 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor8 := mul(424097856000, 24) 操作後 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor8 = 10178348544000 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor9 := mul(10178348544000, 23) 操作後 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor9 = 234102016512000 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor10 := mul(234102016512000, 22) 操作後 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor10 = 5150244363264000 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor11 := mul(5150244363264000, 21) 操作後 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor11 = 108155131628544000 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor12 := mul(108155131628544000, 20) 操作後 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor12 = 2163102632570880000 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor13 := mul(2163102632570880000, 19) 操作後 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor13 = 41098950018846720000 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor14 := mul(41098950018846720000, 18) 操作後 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor14 = 739781100339240960000 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor15 := mul(739781100339240960000, 17) 操作後 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor15 = 12576278705767096320000 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor16 := mul(12576278705767096320000, 16) 操作後 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor16 = 201220459292273541120000 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor17 := mul(201220459292273541120000, 15) 操作後 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor17 = 3018306889384103116800000 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor18 := mul(3018306889384103116800000, 14) 操作後 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor18 = 42256296451377443635200000 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor19 := mul(42256296451377443635200000, 13) 操作後 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor19 = 549331853867906767257600000 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor20 := mul(549331853867906767257600000, 12) 操作後 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor20 = 6591982246414881207091200000 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor21 := mul(6591982246414881207091200000, 11) 操作後 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor21 = 72511804710563693278003200000 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor22 := mul(72511804710563693278003200000, 10) 操作後 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor22 = 725118047105636932780032000000 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · calculation操作前 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor23 := mul(725118047105636932780032000000, 9) 操作後 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor23 = 6526062423950732395020288000000 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor24 := mul(6526062423950732395020288000000, 8) 操作後 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor24 = 52208499391605859160162304000000 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor25 := mul(52208499391605859160162304000000, 7) 操作後 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor25 = 365459495741241014121136128000000 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · calculation操作前 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor26 := mul(365459495741241014121136128000000, 6) 操作後 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor26 = 2192756974447446084726816768000000 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046 S048 · calculation操作前 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor27 := mul(2192756974447446084726816768000000, 5) 操作後 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor27 = 10963784872237230423634083840000000 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047 S049 · calculation操作前 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor28 := mul(10963784872237230423634083840000000, 4) 操作後 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor28 = 43855139488948921694536335360000000 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048 S050 · calculation操作前 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor29 := mul(43855139488948921694536335360000000, 3) 操作後 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor29 = 131565418466846765083609006080000000 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049 S051 · calculation操作前 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor30 := mul(131565418466846765083609006080000000, 2) 操作後 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor30 = 263130836933693530167218012160000000 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050 S052 · calculation操作前 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor31 := mul(263130836933693530167218012160000000, 1) 操作後 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor31 = 263130836933693530167218012160000000 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S051 S053 · implies操作前 source roles = [Selection full ordered, 32, 32] 操作後 derived = [[32, 31, 30, 29, 28, 27, 26, 25, 24, 23, 22, 21, 20, 19, 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1], 263130836933693530167218012160000000] 條件：無 第j位置有n-j個未用相異標記物件，完整乘k個choices；k0只有一個空ordered tuple。這不是可重複或環形／不可區分模型。 步驟識別與依賴規則：Selection_ORDERED_distinct_without_replacement_available_choices · 依賴：G001, S052 S054 · calculation操作前 Selection ORIGINAL completion COUNT ratio := div(20922789888000, 263130836933693530167218012160000000) 操作後 Selection ORIGINAL completion COUNT ratio = 1/12576278705767096320000 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S053 S055 · implies操作前 source roles = [32, 32, 16, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15]] 操作後 derived = [16, 16, 20922789888000, 263130836933693530167218012160000000, 1/12576278705767096320000] 條件：無 前r位置固定用0..r-1且次序已給，先扣已用物件／已填位置。r0不減count，r=k只一個completion；最後是count比，沒有uniform law不可自行叫概率。 步驟識別與依賴規則：Selection_FIXED_prefix_labels_and_COUNT_ratio_NOT_probability · 依賴：G001, S054 ## 逐步反向核對 - S055 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection ORIGINAL completion COUNT ratio，不以小數近似替代。 - S053 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor31，不以小數近似替代。 - S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor30，不以小數近似替代。 - S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor29，不以小數近似替代。 - S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor28，不以小數近似替代。 - S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor27，不以小數近似替代。 - S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor26，不以小數近似替代。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor25，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor24，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor23，不以小數近似替代。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor22，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor21，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor20，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor19，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor18，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor17，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor16，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor15，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor14，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor13，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor12，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor11，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor10，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor9，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor8，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor7，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor6，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor5，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor4，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor3，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor2，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor1，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor0，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor15，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor14，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor13，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor12，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor11，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor10，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor9，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor8，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor7，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor6，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor5，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor4，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor3，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor2，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection prefix ORIGINAL k minus filled r，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection prefix ORIGINAL n minus used r，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 ## 結論 (16, 16, 20922789888000, 263130836933693530167218012160000000, 1/12576278705767096320000) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 29c987a6fe7e864ae9330dc96522934f6b1fd311f9f374009cb6911f4c745577 - candidate record SHA-256: 9f9ad2dd71a9686b73c95367526eeb4671ca936aec2a6b797181ed07e0468e94 - semantic review receipt SHA-256: d6b5a409bf933281a46617cd715d8016fd5ca3d6fb76f77d179ac2ecd9d608bf - question-first witness SHA-256: f80ecf598c6893a580af018e1a82849b33ee6887efb48a6a1d69569aa17f12e4 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261011-advance-20261015-r06-permutation-combination-0079.json)