# 第 30871 題：固定前序的完成計數 [返回所在分頁 155](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/155/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261011-advance-20261015-r06-permutation-combination-foundations/#q-20261011-advance-20261015-r06-permutation-combination-0096) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0060-30871 · q-20261011-advance-20261015-r06-permutation-combination-0096 ## 原題與已知條件 相異標記物件無放回，有序與無序分開。n=21、k=3、r=1、model=distinct_without_replacement，前r個位置固定原序標記=[0]。求 (剩餘物件數, 剩餘位置數, 完成數, 全有序數, 完成數/全數)。 - G001 — 相異標記物件無放回，有序與無序分開。n=21、k=3、r=1、model=distinct_without_replacement，前r個位置固定原序標記=[0]。求 (剩餘物件數, 剩餘位置數, 完成數, 全有序數, 完成數/全數)。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-permutation-combination](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-permutation-combination/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-density15-selection-forced-initial-order, density15_selection_forced_initial_order, finite_distinct_selection_protocol] 操作後 derived = [[remaining_objects, remaining_positions, completions, full_ordered_count, COUNT_ratio]] 條件：無 density14/15用full-prefix underscores，density17用local hyphens。coordinate frame與circle frame不同，輸出欄序／型別依本family，不改原中英／JSON／status。 步驟識別與依賴規則：R60_EXACT_perbank_operation_domain_FRAME_and_output_roles · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Selection prefix ORIGINAL n minus used r := sub(21, 1) 操作後 Selection prefix ORIGINAL n minus used r = 20 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Selection prefix ORIGINAL k minus filled r := sub(3, 1) 操作後 Selection prefix ORIGINAL k minus filled r = 2 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor0 := mul(1, 20) 操作後 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor0 = 20 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor1 := mul(20, 19) 操作後 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor1 = 380 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 source roles = [Selection prefix remaining ordered, 20, 2] 操作後 derived = [[20, 19], 380] 條件：無 第j位置有n-j個未用相異標記物件，完整乘k個choices；k0只有一個空ordered tuple。這不是可重複或環形／不可區分模型。 步驟識別與依賴規則：Selection_ORDERED_distinct_without_replacement_available_choices · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor0 := mul(1, 21) 操作後 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor0 = 21 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor1 := mul(21, 20) 操作後 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor1 = 420 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor2 := mul(420, 19) 操作後 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor2 = 7980 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 source roles = [Selection full ordered, 21, 3] 操作後 derived = [[21, 20, 19], 7980] 條件：無 第j位置有n-j個未用相異標記物件，完整乘k個choices；k0只有一個空ordered tuple。這不是可重複或環形／不可區分模型。 步驟識別與依賴規則：Selection_ORDERED_distinct_without_replacement_available_choices · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Selection ORIGINAL completion COUNT ratio := div(380, 7980) 操作後 Selection ORIGINAL completion COUNT ratio = 1/21 條件：無 保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 source roles = [21, 3, 1, [0]] 操作後 derived = [20, 2, 380, 7980, 1/21] 條件：無 前r位置固定用0..r-1且次序已給，先扣已用物件／已填位置。r0不減count，r=k只一個completion；最後是count比，沒有uniform law不可自行叫概率。 步驟識別與依賴規則：Selection_FIXED_prefix_labels_and_COUNT_ratio_NOT_probability · 依賴：G001, S011 ## 逐步反向核對 - S012 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection ORIGINAL completion COUNT ratio，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor2，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor1，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor0，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection prefix ORIGINAL k minus filled r，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection prefix ORIGINAL n minus used r，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。 ## 結論 (20, 2, 380, 7980, 1/21) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: ca0499b81a025a0238d8eb095121c66d1263bdf7821ed6019c5d9ae7a61e669f - candidate record SHA-256: 181bff7bb902cb5ccae7fc261274018e7aad17847abbf0479e6db5271ff56224 - semantic review receipt SHA-256: d6b5a409bf933281a46617cd715d8016fd5ca3d6fb76f77d179ac2ecd9d608bf - question-first witness SHA-256: f80ecf598c6893a580af018e1a82849b33ee6887efb48a6a1d69569aa17f12e4 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261011-advance-20261015-r06-permutation-combination-0096.json)