# 第 7991 題：兩個加權向量與總和 [返回所在分頁 40](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/40/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261012-advance-20261016-r01-vector-foundations/#q-20261012-advance-20261016-r01-vector-0016) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0014-07991 · q-20261012-advance-20261016-r01-vector-0016 ## 原題與已知條件 固定標準基底的整數二分量向量。u=[3, 1]、v=[1, 13]、a=2、b=-1。依序求 (a*u, b*v, a*u+b*v)。 - G001 — 固定標準基底的整數二分量向量。u=[3, 1]、v=[1, 13]、a=2、b=-1。依序求 (a*u, b*v, a*u+b*v)。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-vector](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-vector/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 fixed standard basis;two ordered integer coordinates 操作後 componentwise operations;not length or inner product 條件：無 同一固定基底下逐分量運算；交換分量、取長度或算內積都不是此題的向量答案。 步驟識別與依賴規則：ordered_vector_scope · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 au[0] := mul(2, 3) 操作後 au[0] = 6 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 au[1] := mul(2, 1) 操作後 au[1] = 2 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 bv[0] := mul(-1, 1) 操作後 bv[0] = -1 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 bv[1] := mul(-1, 13) 操作後 bv[1] = -13 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 au+bv[0] := sum(6, -1) 操作後 au+bv[0] = 5 條件：無 把已對齊的同一分量或同一位置相加，不跨分量配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 au+bv[1] := sum(2, -13) 操作後 au+bv[1] = -11 條件：無 把已對齊的同一分量或同一位置相加，不跨分量配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 au=[6, 2];bv=[-1, -13] 操作後 value=[5, -11] 條件：無 兩個權重各乘自己的向量，再加同位置分量；負權重與零向量都依同一定義。 步驟識別與依賴規則：weighted_vector_components · 依賴：G001, S007 ## 逐步反向核對 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 au+bv[1]，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 au+bv[0]，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 bv[1]，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 bv[0]，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 au[1]，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 au[0]，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([6, 2], [-1, -13], [5, -11]) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 09a07b6969316f0fc5bf3b92fdfef4fc8188a91872b09b8c0c389f0d88e5f8ea - candidate record SHA-256: 36d7de11a71d0885be3f9708272454f9323df0ff73defd5715652db394ab363f - semantic review receipt SHA-256: 23ba8196e85a09c03add0a87f96bec5d67a00dc648d1d68eef89101525b41a77 - question-first witness SHA-256: 17d59afc327b7cb8b6e588686d6dc1abbccd384d8ba32b8c046652f96821d705 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261012-advance-20261016-r01-vector-0016.json)