# 第 7525 題：矩陣映射的加法兩側值 [返回所在分頁 38](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/38/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261012-advance-20261016-r03-linear-transformation-foundations/#q-20261012-advance-20261016-r03-linear-transformation-0050) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0014-07525 · q-20261012-advance-20261016-r03-linear-transformation-0050 ## 原題與已知條件 R²到R²列向量，明示2×2矩陣模型。M=[[12, 1], [0, 2]]、u=[1, 0]、v=[0, 1]。求 (Mu, Mv, M(u+v), Mu+Mv, 後兩側之差)。 - G001 — R²到R²列向量，明示2×2矩陣模型。M=[[12, 1], [0, 2]]、u=[1, 0]、v=[0, 1]。求 (Mu, Mv, M(u+v), Mu+Mv, 後兩側之差)。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-linear-transformation](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-transformation/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 M=[[12, 1], [0, 2]];v=[0, 1] 操作後 declared R2 matrix model;finite values are not a test of an arbitrary function 條件：無 明示矩陣模型Mv在全R²上由分配律給出線性映射；本題列出的有限代值不是對任意函數的線性證明。零映射也線性，不要求非零或可逆。 步驟識別與依賴規則：declared_linear_model_scope · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Mv[0] term0 := mul(12, 0) 操作後 Mv[0] term0 = 0 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Mv[0] term1 := mul(1, 1) 操作後 Mv[0] term1 = 1 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Mv[0] row sum := sum(0, 1) 操作後 Mv[0] row sum = 1 條件：無 把已對齊的同一分量或同一位置相加，不跨分量配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Mv[1] term0 := mul(0, 0) 操作後 Mv[1] term0 = 0 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Mv[1] term1 := mul(2, 1) 操作後 Mv[1] term1 = 2 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Mv[1] row sum := sum(0, 2) 操作後 Mv[1] row sum = 2 條件：無 把已對齊的同一分量或同一位置相加，不跨分量配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Mu[0] term0 := mul(12, 1) 操作後 Mu[0] term0 = 12 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Mu[0] term1 := mul(1, 0) 操作後 Mu[0] term1 = 0 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Mu[0] row sum := sum(12, 0) 操作後 Mu[0] row sum = 12 條件：無 把已對齊的同一分量或同一位置相加，不跨分量配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Mu[1] term0 := mul(0, 1) 操作後 Mu[1] term0 = 0 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Mu[1] term1 := mul(2, 0) 操作後 Mu[1] term1 = 0 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Mu[1] row sum := sum(0, 0) 操作後 Mu[1] row sum = 0 條件：無 把已對齊的同一分量或同一位置相加，不跨分量配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 u+v[0] := sum(1, 0) 操作後 u+v[0] = 1 條件：無 把已對齊的同一分量或同一位置相加，不跨分量配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 u+v[1] := sum(0, 1) 操作後 u+v[1] = 1 條件：無 把已對齊的同一分量或同一位置相加，不跨分量配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 M(u+v)[0] term0 := mul(12, 1) 操作後 M(u+v)[0] term0 = 12 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 M(u+v)[0] term1 := mul(1, 1) 操作後 M(u+v)[0] term1 = 1 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 M(u+v)[0] row sum := sum(12, 1) 操作後 M(u+v)[0] row sum = 13 條件：無 把已對齊的同一分量或同一位置相加，不跨分量配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 M(u+v)[1] term0 := mul(0, 1) 操作後 M(u+v)[1] term0 = 0 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 M(u+v)[1] term1 := mul(2, 1) 操作後 M(u+v)[1] term1 = 2 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 M(u+v)[1] row sum := sum(0, 2) 操作後 M(u+v)[1] row sum = 2 條件：無 把已對齊的同一分量或同一位置相加，不跨分量配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Mu+Mv[0] := sum(12, 1) 操作後 Mu+Mv[0] = 13 條件：無 把已對齊的同一分量或同一位置相加，不跨分量配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Mu+Mv[1] := sum(0, 2) 操作後 Mu+Mv[1] = 2 條件：無 把已對齊的同一分量或同一位置相加，不跨分量配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 linear additivity residual[0] := sub(13, 13) 操作後 linear additivity residual[0] = 0 條件：無 按題目指定的前項減後項，保留殘差的正負。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 linear additivity residual[1] := sub(2, 2) 操作後 linear additivity residual[1] = 0 條件：無 按題目指定的前項減後項，保留殘差的正負。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 u=[1, 0];v=[0, 1] 操作後 left=[13, 2];right=[13, 2];residual=[0, 0] 條件：無 對這組輸入分別求兩路的每個分量；一般矩陣加法相容性來自分配律，不是由一組殘差為0外推任意函數。 步驟識別與依賴規則：matrix_additivity_value_audit · 依賴：G001, S025 ## 逐步反向核對 - S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 linear additivity residual[1]，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 linear additivity residual[0]，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mu+Mv[1]，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mu+Mv[0]，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M(u+v)[1] row sum，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M(u+v)[1] term1，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M(u+v)[1] term0，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M(u+v)[0] row sum，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M(u+v)[0] term1，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M(u+v)[0] term0，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u+v[1]，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u+v[0]，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mu[1] row sum，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mu[1] term1，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mu[1] term0，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mu[0] row sum，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mu[0] term1，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mu[0] term0，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[1] row sum，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[1] term1，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[1] term0，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[0] row sum，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[0] term1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[0] term0，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([12, 0], [1, 2], [13, 2], [13, 2], [0, 0]) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 6710dab98c796f59287ac59c46ebe842cee49461db7ee6bde718b5422a8455d5 - candidate record SHA-256: caa07a838d9f151e080542af36004c07a70247a5c3e745b342e45fa39f7a432a - semantic review receipt SHA-256: 23ba8196e85a09c03add0a87f96bec5d67a00dc648d1d68eef89101525b41a77 - question-first witness SHA-256: 17d59afc327b7cb8b6e588686d6dc1abbccd384d8ba32b8c046652f96821d705 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261012-advance-20261016-r03-linear-transformation-0050.json)