# 第 7372 題：交換兩行的有號行列式 [返回所在分頁 37](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/37/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261012-advance-20261016-r04-determinant-foundations/#q-20261012-advance-20261016-r04-determinant-0022) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0013-07372 · q-20261012-advance-20261016-r04-determinant-0022 ## 原題與已知條件 R上2×2矩陣，D為有號行列式。M=[[9, 1], [2, 1]]。求 (M, D(M), 交換兩行的矩陣, 交換後D, 兩個D之和)。 - G001 — R上2×2矩陣，D為有號行列式。M=[[9, 1], [2, 1]]。求 (M, D(M), 交換兩行的矩陣, 交換後D, 兩個D之和)。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-determinant](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-determinant/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 [[9, 1], [2, 1]] 操作後 real2×2 integer-entry slice;determinants are signed 條件：無 行列式按有號ad−bc計算，不以絕對值取代；矩陣乘法按行乘列，不當逐項乘法。此有限核對不是一般形式證明。 步驟識別與依賴規則：signed_two_by_two_determinant_scope · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 M diagonal product := mul(9, 1) 操作後 M diagonal product = 9 條件：無 先乘主對角線a·d。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 M off-diagonal product := mul(1, 2) 操作後 M off-diagonal product = 2 條件：無 另乘副對角線b·c，減號不可漏。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 M signed determinant := sub(9, 2) 操作後 M signed determinant = 7 條件：無 兩項相減保留符號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 row-swapped M diagonal product := mul(2, 1) 操作後 row-swapped M diagonal product = 2 條件：無 先乘主對角線a·d。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 row-swapped M off-diagonal product := mul(1, 9) 操作後 row-swapped M off-diagonal product = 9 條件：無 另乘副對角線b·c，減號不可漏。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 row-swapped M signed determinant := sub(2, 9) 操作後 row-swapped M signed determinant = -7 條件：無 兩項相減保留符號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 original plus row-swapped determinants := sum(7, -7) 操作後 original plus row-swapped determinants = 0 條件：無 交換兩行反號，兩個行列式和應為0。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 M=[[9, 1], [2, 1]];swapped rows=[[2, 1], [9, 1]] 操作後 signed determinants=(7,-7) 條件：無 交換的是行而非轉置；det=0時反號仍0，不能因此把符號規則改成絕對值。 步驟識別與依賴規則：determinant_row_swap_sign · 依賴：G001, S008 ## 逐步反向核對 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original plus row-swapped determinants，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 row-swapped M signed determinant，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 row-swapped M off-diagonal product，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 row-swapped M diagonal product，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M signed determinant，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M off-diagonal product，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M diagonal product，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([[9, 1], [2, 1]], 7, [[2, 1], [9, 1]], -7, 0) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 1d6fef70682c7f6dc20534cbfd6aeb5d0935c9abb046b256f17e4afabb30caf0 - candidate record SHA-256: 94e0e77fa70c47132ac3ef8d6f4c12202dc84aa8543fc9f488df6a03fc200af3 - semantic review receipt SHA-256: e89fc6d4a50a4a7fc942c6c8939a92f835e30105a9a5850e37dd198f31c1ed59 - question-first witness SHA-256: 0e1039f4cf022bf35af4e5531651c9a2b7ca7a5fdacac34fb1e4bcd9a81f6299 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261012-advance-20261016-r04-determinant-0022.json)