# 第 7377 題：純量矩陣與二階縮放值 [返回所在分頁 37](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/37/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261012-advance-20261016-r04-determinant-foundations/#q-20261012-advance-20261016-r04-determinant-0027) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0013-07377 · q-20261012-advance-20261016-r04-determinant-0027 ## 原題與已知條件 R上2×2矩陣，D為有號行列式。M=[[1, 2], [3, 4]]、t=0。求 (D(M), tM, D(tM), t²D(M))。負t及零t都按明示數值計算。 - G001 — R上2×2矩陣，D為有號行列式。M=[[1, 2], [3, 4]]、t=0。求 (D(M), tM, D(tM), t²D(M))。負t及零t都按明示數值計算。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-determinant](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-determinant/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 [[1, 2], [3, 4]] 操作後 real2×2 integer-entry slice;determinants are signed 條件：無 行列式按有號ad−bc計算，不以絕對值取代；矩陣乘法按行乘列，不當逐項乘法。此有限核對不是一般形式證明。 步驟識別與依賴規則：signed_two_by_two_determinant_scope · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 M diagonal product := mul(1, 4) 操作後 M diagonal product = 4 條件：無 先乘主對角線a·d。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 M off-diagonal product := mul(2, 3) 操作後 M off-diagonal product = 6 條件：無 另乘副對角線b·c，減號不可漏。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 M signed determinant := sub(4, 6) 操作後 M signed determinant = -2 條件：無 兩項相減保留符號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 scaled matrix entry0,0 := mul(0, 1) 操作後 scaled matrix entry0,0 = 0 條件：無 整個矩陣每個格都乘同一t。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 scaled matrix entry0,1 := mul(0, 2) 操作後 scaled matrix entry0,1 = 0 條件：無 整個矩陣每個格都乘同一t。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 scaled matrix entry1,0 := mul(0, 3) 操作後 scaled matrix entry1,0 = 0 條件：無 整個矩陣每個格都乘同一t。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 scaled matrix entry1,1 := mul(0, 4) 操作後 scaled matrix entry1,1 = 0 條件：無 整個矩陣每個格都乘同一t。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 scaled M diagonal product := mul(0, 0) 操作後 scaled M diagonal product = 0 條件：無 先乘主對角線a·d。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 scaled M off-diagonal product := mul(0, 0) 操作後 scaled M off-diagonal product = 0 條件：無 另乘副對角線b·c，減號不可漏。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 scaled M signed determinant := sub(0, 0) 操作後 scaled M signed determinant = 0 條件：無 兩項相減保留符號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 matrix scalar squared := square(0) 操作後 matrix scalar squared = 0 條件：無 兩行各帶一個縮放因子，因此二階式用t²。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 t squared times original determinant := mul(0, -2) 操作後 t squared times original determinant = 0 條件：無 另算t²D(M)與直接算的D(tM)比較。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 t=0;D(tM)=0;t²D(M)=0 操作後 whole-matrix2×2 scaling,including negative and zero t 條件：無 整個二階矩陣縮放不是只縮一行，不能只乘t；負t平方為正，零t直接得到零矩陣。 步驟識別與依賴規則：two_by_two_whole_matrix_scale · 依賴：G001, S013 ## 逐步反向核對 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 t squared times original determinant，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix scalar squared，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 scaled M signed determinant，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 scaled M off-diagonal product，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 scaled M diagonal product，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 scaled matrix entry1,1，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 scaled matrix entry1,0，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 scaled matrix entry0,1，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 scaled matrix entry0,0，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M signed determinant，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M off-diagonal product，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M diagonal product，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (-2, [[0, 0], [0, 0]], 0, 0) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: afc3e096b01fae6a82f50f54678bbfbdf0ea383cc766b548e8c9ecb02f0ac18c - candidate record SHA-256: a7396294221b89d7453c4fc04d0215987bf47d8beab3a59643e53c16668f0e13 - semantic review receipt SHA-256: e89fc6d4a50a4a7fc942c6c8939a92f835e30105a9a5850e37dd198f31c1ed59 - question-first witness SHA-256: 0e1039f4cf022bf35af4e5531651c9a2b7ca7a5fdacac34fb1e4bcd9a81f6299 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261012-advance-20261016-r04-determinant-0027.json)