# 第 7348 題：矩陣乘積兩序及行列式 [返回所在分頁 37](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/37/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261012-advance-20261016-r04-determinant-foundations/#q-20261012-advance-20261016-r04-determinant-0073) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0013-07348 · q-20261012-advance-20261016-r04-determinant-0073 ## 原題與已知條件 R上2×2矩陣，D為有號行列式。M=[[10, 1], [0, 1]]、N=[[1, 0], [2, 1]]。求 (MN, NM, D(MN), D(NM), D(M)D(N), MN與NM相同資格)。 - G001 — R上2×2矩陣，D為有號行列式。M=[[10, 1], [0, 1]]、N=[[1, 0], [2, 1]]。求 (MN, NM, D(MN), D(NM), D(M)D(N), MN與NM相同資格)。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-determinant](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-determinant/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 [[10, 1], [0, 1]] 操作後 real2×2 integer-entry slice;determinants are signed 條件：無 行列式按有號ad−bc計算，不以絕對值取代；矩陣乘法按行乘列，不當逐項乘法。此有限核對不是一般形式證明。 步驟識別與依賴規則：signed_two_by_two_determinant_scope · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 M diagonal product := mul(10, 1) 操作後 M diagonal product = 10 條件：無 先乘主對角線a·d。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 M off-diagonal product := mul(1, 0) 操作後 M off-diagonal product = 0 條件：無 另乘副對角線b·c，減號不可漏。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 M signed determinant := sub(10, 0) 操作後 M signed determinant = 10 條件：無 兩項相減保留符號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 MN entry0,0 term0 := mul(10, 1) 操作後 MN entry0,0 term0 = 10 條件：無 左矩陣第i行與右矩陣第j列的同k分量相乘。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 MN entry0,0 term1 := mul(1, 2) 操作後 MN entry0,0 term1 = 2 條件：無 左矩陣第i行與右矩陣第j列的同k分量相乘。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 MN entry0,0 := sum(10, 2) 操作後 MN entry0,0 = 12 條件：無 兩個行列乘積相加，得到這一格。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 product=MN;row=0;column=0;terms=[10, 2] 操作後 entry=12 條件：無 列與行索引位置固定，不把MN與NM的因子次序或逐項乘法混用。 步驟識別與依賴規則：row_column_matrix_product_cell · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 MN entry0,1 term0 := mul(10, 0) 操作後 MN entry0,1 term0 = 0 條件：無 左矩陣第i行與右矩陣第j列的同k分量相乘。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 MN entry0,1 term1 := mul(1, 1) 操作後 MN entry0,1 term1 = 1 條件：無 左矩陣第i行與右矩陣第j列的同k分量相乘。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 MN entry0,1 := sum(0, 1) 操作後 MN entry0,1 = 1 條件：無 兩個行列乘積相加，得到這一格。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 product=MN;row=0;column=1;terms=[0, 1] 操作後 entry=1 條件：無 列與行索引位置固定，不把MN與NM的因子次序或逐項乘法混用。 步驟識別與依賴規則：row_column_matrix_product_cell · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 MN entry1,0 term0 := mul(0, 1) 操作後 MN entry1,0 term0 = 0 條件：無 左矩陣第i行與右矩陣第j列的同k分量相乘。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 MN entry1,0 term1 := mul(1, 2) 操作後 MN entry1,0 term1 = 2 條件：無 左矩陣第i行與右矩陣第j列的同k分量相乘。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 MN entry1,0 := sum(0, 2) 操作後 MN entry1,0 = 2 條件：無 兩個行列乘積相加，得到這一格。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 product=MN;row=1;column=0;terms=[0, 2] 操作後 entry=2 條件：無 列與行索引位置固定，不把MN與NM的因子次序或逐項乘法混用。 步驟識別與依賴規則：row_column_matrix_product_cell · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 MN entry1,1 term0 := mul(0, 0) 操作後 MN entry1,1 term0 = 0 條件：無 左矩陣第i行與右矩陣第j列的同k分量相乘。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 MN entry1,1 term1 := mul(1, 1) 操作後 MN entry1,1 term1 = 1 條件：無 左矩陣第i行與右矩陣第j列的同k分量相乘。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 MN entry1,1 := sum(0, 1) 操作後 MN entry1,1 = 1 條件：無 兩個行列乘積相加，得到這一格。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 product=MN;row=1;column=1;terms=[0, 1] 操作後 entry=1 條件：無 列與行索引位置固定，不把MN與NM的因子次序或逐項乘法混用。 步驟識別與依賴規則：row_column_matrix_product_cell · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 NM entry0,0 term0 := mul(1, 10) 操作後 NM entry0,0 term0 = 10 條件：無 左矩陣第i行與右矩陣第j列的同k分量相乘。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 NM entry0,0 term1 := mul(0, 0) 操作後 NM entry0,0 term1 = 0 條件：無 左矩陣第i行與右矩陣第j列的同k分量相乘。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 NM entry0,0 := sum(10, 0) 操作後 NM entry0,0 = 10 條件：無 兩個行列乘積相加，得到這一格。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 product=NM;row=0;column=0;terms=[10, 0] 操作後 entry=10 條件：無 列與行索引位置固定，不把MN與NM的因子次序或逐項乘法混用。 步驟識別與依賴規則：row_column_matrix_product_cell · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 NM entry0,1 term0 := mul(1, 1) 操作後 NM entry0,1 term0 = 1 條件：無 左矩陣第i行與右矩陣第j列的同k分量相乘。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 NM entry0,1 term1 := mul(0, 1) 操作後 NM entry0,1 term1 = 0 條件：無 左矩陣第i行與右矩陣第j列的同k分量相乘。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 NM entry0,1 := sum(1, 0) 操作後 NM entry0,1 = 1 條件：無 兩個行列乘積相加，得到這一格。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 product=NM;row=0;column=1;terms=[1, 0] 操作後 entry=1 條件：無 列與行索引位置固定，不把MN與NM的因子次序或逐項乘法混用。 步驟識別與依賴規則：row_column_matrix_product_cell · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 NM entry1,0 term0 := mul(2, 10) 操作後 NM entry1,0 term0 = 20 條件：無 左矩陣第i行與右矩陣第j列的同k分量相乘。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 NM entry1,0 term1 := mul(1, 0) 操作後 NM entry1,0 term1 = 0 條件：無 左矩陣第i行與右矩陣第j列的同k分量相乘。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 NM entry1,0 := sum(20, 0) 操作後 NM entry1,0 = 20 條件：無 兩個行列乘積相加，得到這一格。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · implies操作前 product=NM;row=1;column=0;terms=[20, 0] 操作後 entry=20 條件：無 列與行索引位置固定，不把MN與NM的因子次序或逐項乘法混用。 步驟識別與依賴規則：row_column_matrix_product_cell · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 NM entry1,1 term0 := mul(2, 1) 操作後 NM entry1,1 term0 = 2 條件：無 左矩陣第i行與右矩陣第j列的同k分量相乘。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 NM entry1,1 term1 := mul(1, 1) 操作後 NM entry1,1 term1 = 1 條件：無 左矩陣第i行與右矩陣第j列的同k分量相乘。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 NM entry1,1 := sum(2, 1) 操作後 NM entry1,1 = 3 條件：無 兩個行列乘積相加，得到這一格。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · implies操作前 product=NM;row=1;column=1;terms=[2, 1] 操作後 entry=3 條件：無 列與行索引位置固定，不把MN與NM的因子次序或逐項乘法混用。 步驟識別與依賴規則：row_column_matrix_product_cell · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 MN diagonal product := mul(12, 1) 操作後 MN diagonal product = 12 條件：無 先乘主對角線a·d。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 MN off-diagonal product := mul(1, 2) 操作後 MN off-diagonal product = 2 條件：無 另乘副對角線b·c，減號不可漏。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 MN signed determinant := sub(12, 2) 操作後 MN signed determinant = 10 條件：無 兩項相減保留符號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 NM diagonal product := mul(10, 3) 操作後 NM diagonal product = 30 條件：無 先乘主對角線a·d。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 NM off-diagonal product := mul(1, 20) 操作後 NM off-diagonal product = 20 條件：無 另乘副對角線b·c，減號不可漏。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 NM signed determinant := sub(30, 20) 操作後 NM signed determinant = 10 條件：無 兩項相減保留符號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 N diagonal product := mul(1, 1) 操作後 N diagonal product = 1 條件：無 先乘主對角線a·d。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · calculation操作前 N off-diagonal product := mul(0, 2) 操作後 N off-diagonal product = 0 條件：無 另乘副對角線b·c，減號不可漏。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 N signed determinant := sub(1, 0) 操作後 N signed determinant = 1 條件：無 兩項相減保留符號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 product of original determinants := mul(10, 1) 操作後 product of original determinants = 10 條件：無 原兩個有號行列式另行相乘。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · implies操作前 MN=[[12, 1], [2, 1]];NM=[[10, 1], [20, 3]];determinants=(10,10) 操作後 matrices equal=否;D(M)D(N)=10 條件：無 此數值核對中兩序行列式同等於D(M)D(N)，仍須逐格比較矩陣；相同行列式不保證MN=NM。 步驟識別與依賴規則：determinant_product_not_matrix_commutation · 依賴：G001, S046 ## 逐步反向核對 - S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product of original determinants，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 N signed determinant，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 N off-diagonal product，不以小數近似替代。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 N diagonal product，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 NM signed determinant，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 NM off-diagonal product，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 NM diagonal product，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MN signed determinant，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MN off-diagonal product，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MN diagonal product，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 NM entry1,1，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 NM entry1,1 term1，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 NM entry1,1 term0，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 NM entry1,0，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 NM entry1,0 term1，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 NM entry1,0 term0，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 NM entry0,1，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 NM entry0,1 term1，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 NM entry0,1 term0，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 NM entry0,0，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 NM entry0,0 term1，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 NM entry0,0 term0，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MN entry1,1，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MN entry1,1 term1，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MN entry1,1 term0，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MN entry1,0，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MN entry1,0 term1，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MN entry1,0 term0，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MN entry0,1，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MN entry0,1 term1，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MN entry0,1 term0，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MN entry0,0，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MN entry0,0 term1，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MN entry0,0 term0，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M signed determinant，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M off-diagonal product，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M diagonal product，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([[12, 1], [2, 1]], [[10, 1], [20, 3]], 10, 10, 10, 否) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 1a989efe211b2897ef93a4c3ae4294144b3ddeb33fa468b0141a8816fee71058 - candidate record SHA-256: 8c8664e7835f450c758cf341d8bfd7ae165ce59dc3fce83018847ad853d3ebc7 - semantic review receipt SHA-256: e89fc6d4a50a4a7fc942c6c8939a92f835e30105a9a5850e37dd198f31c1ed59 - question-first witness SHA-256: 0e1039f4cf022bf35af4e5531651c9a2b7ca7a5fdacac34fb1e4bcd9a81f6299 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261012-advance-20261016-r04-determinant-0073.json)