# 第 7826 題：兩列秩與完整解分類

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0014-07826 · q-20261012-advance-20261016-r05-system-linear-equations-0026



## 原題與已知條件

R上兩元兩式；rows每列[a,b,c]代表a*x+b*y=c。rows=[[0, 0, 0], [0, 0, 0]]。求 (有號D, 係數秩, 增廣秩, 無解/唯一解/無限多解, 唯一時有序有理解[x,y]或不適用/不唯一)。


- G001 — R上兩元兩式；rows每列[a,b,c]代表a*x+b*y=c。rows=[[0, 0, 0], [0, 0, 0]]。求 (有號D, 係數秩, 增廣秩, 無解/唯一解/無限多解, 唯一時有序有理解[x,y]或不適用/不唯一)。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-system-linear-equations](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-system-linear-equations/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

rows=[[0, 0, 0], [0, 0, 0]]

操作後

each row [a,b,c] means a*x+b*y=c over R

條件：無

兩式須同時成立，右側常數不是第三個未知數。退化零係數列也保留，不能先假設行列式非零。

步驟識別與依賴規則：two_equations_real_system_scope · 依賴：G001





S002 · calculation操作前

before ae := mul(0, 0)

操作後

before ae = 0

條件：無

用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001





S003 · calculation操作前

before bd := mul(0, 0)

操作後

before bd = 0

條件：無

用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002





S004 · calculation操作前

before D := sub(0, 0)

操作後

before D = 0

條件：無

按題目指定的前項減後項，保留殘差的正負。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003





S005 · calculation操作前

before af := mul(0, 0)

操作後

before af = 0

條件：無

用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004





S006 · calculation操作前

before cd := mul(0, 0)

操作後

before cd = 0

條件：無

用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005





S007 · calculation操作前

before minor_x_rhs := sub(0, 0)

操作後

before minor_x_rhs = 0

條件：無

按題目指定的前項減後項，保留殘差的正負。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006





S008 · calculation操作前

before bf := mul(0, 0)

操作後

before bf = 0

條件：無

用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007





S009 · calculation操作前

before ce := mul(0, 0)

操作後

before ce = 0

條件：無

用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008





S010 · calculation操作前

before minor_y_rhs := sub(0, 0)

操作後

before minor_y_rhs = 0

條件：無

按題目指定的前項減後項，保留殘差的正負。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009





S011 · implies操作前

phase=before;rows=[[0, 0, 0], [0, 0, 0]];2x2 minors=[0, 0, 0]

操作後

rankA=0;rankAb=0

條件：無

係數矩陣的非零2×2子式給秩2；否則查是否有非零係數給秩1。增廣矩陣有三個2×2子式，全部為0才再查非零格，不能漏右側常數。

步驟識別與依賴規則：system_rank_from_complete_minors · 依賴：G001, S010





S012 · implies操作前

phase=before;rankA=0;rankAb=0;unknowns=2

操作後

class=無限多解;solution/status=不唯一

條件：無

兩秩不等表示有矛盾列，無解；相等且秩小於2有自由變數，在R上有無限多解；秩2才給唯一解。D=0時不做除以D。

步驟識別與依賴規則：system_consistency_and_free_variables · 依賴：G001, S011









## 逐步反向核對


- S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before minor_y_rhs，不以小數近似替代。
- S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before ce，不以小數近似替代。
- S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before bf，不以小數近似替代。
- S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before minor_x_rhs，不以小數近似替代。
- S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before cd，不以小數近似替代。
- S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before af，不以小數近似替代。
- S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before D，不以小數近似替代。
- S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before bd，不以小數近似替代。
- S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before ae，不以小數近似替代。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

(0, 0, 0, 無限多解, 不唯一)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 20a64cb8455b74fb4ff58964fbd216217eeb6f9a349530d4f550a76bfe693468
- candidate record SHA-256: a11959013992cdb8bd5598c55ec4e4bd8a1dd164f5859bf5d76ec9a7a897a1d6
- semantic review receipt SHA-256: 23ba8196e85a09c03add0a87f96bec5d67a00dc648d1d68eef89101525b41a77
- question-first witness SHA-256: 17d59afc327b7cb8b6e588686d6dc1abbccd384d8ba32b8c046652f96821d705
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261012-advance-20261016-r05-system-linear-equations-0026.json)