# 第 7853 題：加倍第一列的消去操作 [返回所在分頁 40](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/40/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261012-advance-20261016-r05-system-linear-equations-foundations/#q-20261012-advance-20261016-r05-system-linear-equations-0053) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0014-07853 · q-20261012-advance-20261016-r05-system-linear-equations-0053 ## 原題與已知條件 R上兩元兩式；rows每列[a,b,c]代表a*x+b*y=c。rows=[[1, 1, 1], [2, 2, 3]]、t=-2。只把row2改row2+t*row1。求 (新rows, 前分類列[D,rankA,rankAb,class,solution或marker], 後分類列, 可逆列操作資格)。 - G001 — R上兩元兩式；rows每列[a,b,c]代表a*x+b*y=c。rows=[[1, 1, 1], [2, 2, 3]]、t=-2。只把row2改row2+t*row1。求 (新rows, 前分類列[D,rankA,rankAb,class,solution或marker], 後分類列, 可逆列操作資格)。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-system-linear-equations](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-system-linear-equations/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 rows=[[1, 1, 1], [2, 2, 3]] 操作後 each row [a,b,c] means a*x+b*y=c over R 條件：無 兩式須同時成立，右側常數不是第三個未知數。退化零係數列也保留，不能先假設行列式非零。 步驟識別與依賴規則：two_equations_real_system_scope · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 before ae := mul(1, 2) 操作後 before ae = 2 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 before bd := mul(1, 2) 操作後 before bd = 2 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 before D := sub(2, 2) 操作後 before D = 0 條件：無 按題目指定的前項減後項，保留殘差的正負。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 before af := mul(1, 3) 操作後 before af = 3 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 before cd := mul(1, 2) 操作後 before cd = 2 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 before minor_x_rhs := sub(3, 2) 操作後 before minor_x_rhs = 1 條件：無 按題目指定的前項減後項，保留殘差的正負。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 before bf := mul(1, 3) 操作後 before bf = 3 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 before ce := mul(1, 2) 操作後 before ce = 2 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 before minor_y_rhs := sub(3, 2) 操作後 before minor_y_rhs = 1 條件：無 按題目指定的前項減後項，保留殘差的正負。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 phase=before;rows=[[1, 1, 1], [2, 2, 3]];2x2 minors=[0, 1, 1] 操作後 rankA=1;rankAb=2 條件：無 係數矩陣的非零2×2子式給秩2；否則查是否有非零係數給秩1。增廣矩陣有三個2×2子式，全部為0才再查非零格，不能漏右側常數。 步驟識別與依賴規則：system_rank_from_complete_minors · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 phase=before;rankA=1;rankAb=2;unknowns=2 操作後 class=無解;solution/status=不適用 條件：無 兩秩不等表示有矛盾列，無解；相等且秩小於2有自由變數，在R上有無限多解；秩2才給唯一解。D=0時不做除以D。 步驟識別與依賴規則：system_consistency_and_free_variables · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 t row1[0] := mul(-2, 1) 操作後 t row1[0] = -2 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 t row1[1] := mul(-2, 1) 操作後 t row1[1] = -2 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 t row1[2] := mul(-2, 1) 操作後 t row1[2] = -2 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 row2+t row1[0] := sum(2, -2) 操作後 row2+t row1[0] = 0 條件：無 把已對齊的同一分量或同一位置相加，不跨分量配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 row2+t row1[1] := sum(2, -2) 操作後 row2+t row1[1] = 0 條件：無 把已對齊的同一分量或同一位置相加，不跨分量配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 row2+t row1[2] := sum(3, -2) 操作後 row2+t row1[2] = 1 條件：無 把已對齊的同一分量或同一位置相加，不跨分量配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 operation=system-eliminate-row;t=-2;old rows=[[1, 1, 1], [2, 2, 3]] 操作後 new rows=[[1, 1, 1], [0, 0, 1]];invertible=是;inverse=row2 -> row2-(-2)*row1 條件：無 整列操作包括右側常數。加任意t倍另一列的逆操作是加−t倍；縮放只有t≠0才可除回。t=0可能恰好保留冗餘系統的解集，但操作本身仍不可逆。 步驟識別與依賴規則：row_operation_inverse_guard · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 after ae := mul(1, 0) 操作後 after ae = 0 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 after bd := mul(1, 0) 操作後 after bd = 0 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 after D := sub(0, 0) 操作後 after D = 0 條件：無 按題目指定的前項減後項，保留殘差的正負。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 after af := mul(1, 1) 操作後 after af = 1 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 after cd := mul(1, 0) 操作後 after cd = 0 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 after minor_x_rhs := sub(1, 0) 操作後 after minor_x_rhs = 1 條件：無 按題目指定的前項減後項，保留殘差的正負。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 after bf := mul(1, 1) 操作後 after bf = 1 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 after ce := mul(1, 0) 操作後 after ce = 0 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 after minor_y_rhs := sub(1, 0) 操作後 after minor_y_rhs = 1 條件：無 按題目指定的前項減後項，保留殘差的正負。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · implies操作前 phase=after;rows=[[1, 1, 1], [0, 0, 1]];2x2 minors=[0, 1, 1] 操作後 rankA=1;rankAb=2 條件：無 係數矩陣的非零2×2子式給秩2；否則查是否有非零係數給秩1。增廣矩陣有三個2×2子式，全部為0才再查非零格，不能漏右側常數。 步驟識別與依賴規則：system_rank_from_complete_minors · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 phase=after;rankA=1;rankAb=2;unknowns=2 操作後 class=無解;solution/status=不適用 條件：無 兩秩不等表示有矛盾列，無解；相等且秩小於2有自由變數，在R上有無限多解；秩2才給唯一解。D=0時不做除以D。 步驟識別與依賴規則：system_consistency_and_free_variables · 依賴：G001, S029 ## 逐步反向核對 - S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after minor_y_rhs，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after ce，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after bf，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after minor_x_rhs，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after cd，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after af，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after D，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after bd，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after ae，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 row2+t row1[2]，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 row2+t row1[1]，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 row2+t row1[0]，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 t row1[2]，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 t row1[1]，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 t row1[0]，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before minor_y_rhs，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before ce，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before bf，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before minor_x_rhs，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before cd，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before af，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before D，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before bd，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before ae，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([[1, 1, 1], [0, 0, 1]], [0, 1, 2, 無解, 不適用], [0, 1, 2, 無解, 不適用], 是) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: a17c0523942a3677e07cf24e644c6a499c109e75288e14f5500ff07e66d672eb - candidate record SHA-256: b84ba317aa9676148676ceeab90eb94e79b73d27709a2c783f6a1d98315cef2a - semantic review receipt SHA-256: 23ba8196e85a09c03add0a87f96bec5d67a00dc648d1d68eef89101525b41a77 - question-first witness SHA-256: 17d59afc327b7cb8b6e588686d6dc1abbccd384d8ba32b8c046652f96821d705 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261012-advance-20261016-r05-system-linear-equations-0053.json)