# 第 7890 題：第一列縮放的操作資格 [返回所在分頁 40](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/40/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261012-advance-20261016-r05-system-linear-equations-foundations/#q-20261012-advance-20261016-r05-system-linear-equations-0090) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0014-07890 · q-20261012-advance-20261016-r05-system-linear-equations-0090 ## 原題與已知條件 R上兩元兩式；rows每列[a,b,c]代表a*x+b*y=c。rows=[[1, 0, 2], [0, 1, 2]]、t=1。只把row1乘t。求 (新rows, 前分類列[D,rankA,rankAb,class,solution或marker], 後分類列, t≠0可逆操作資格, 固定說明字串「非零縮放才是可逆列操作」)。第4欄不是解集是否恰巧等價。 - G001 — R上兩元兩式；rows每列[a,b,c]代表a*x+b*y=c。rows=[[1, 0, 2], [0, 1, 2]]、t=1。只把row1乘t。求 (新rows, 前分類列[D,rankA,rankAb,class,solution或marker], 後分類列, t≠0可逆操作資格, 固定說明字串「非零縮放才是可逆列操作」)。第4欄不是解集是否恰巧等價。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-system-linear-equations](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-system-linear-equations/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 rows=[[1, 0, 2], [0, 1, 2]] 操作後 each row [a,b,c] means a*x+b*y=c over R 條件：無 兩式須同時成立，右側常數不是第三個未知數。退化零係數列也保留，不能先假設行列式非零。 步驟識別與依賴規則：two_equations_real_system_scope · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 before ae := mul(1, 1) 操作後 before ae = 1 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 before bd := mul(0, 0) 操作後 before bd = 0 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 before D := sub(1, 0) 操作後 before D = 1 條件：無 按題目指定的前項減後項，保留殘差的正負。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 before af := mul(1, 2) 操作後 before af = 2 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 before cd := mul(2, 0) 操作後 before cd = 0 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 before minor_x_rhs := sub(2, 0) 操作後 before minor_x_rhs = 2 條件：無 按題目指定的前項減後項，保留殘差的正負。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 before bf := mul(0, 2) 操作後 before bf = 0 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 before ce := mul(2, 1) 操作後 before ce = 2 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 before minor_y_rhs := sub(0, 2) 操作後 before minor_y_rhs = -2 條件：無 按題目指定的前項減後項，保留殘差的正負。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 phase=before;rows=[[1, 0, 2], [0, 1, 2]];2x2 minors=[1, 2, -2] 操作後 rankA=2;rankAb=2 條件：無 係數矩陣的非零2×2子式給秩2；否則查是否有非零係數給秩1。增廣矩陣有三個2×2子式，全部為0才再查非零格，不能漏右側常數。 步驟識別與依賴規則：system_rank_from_complete_minors · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 before x numerator := sub(0, -2) 操作後 before x numerator = 2 條件：無 按題目指定的前項減後項，保留殘差的正負。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 before x solution := div(2, 1) 操作後 before x solution = 2 條件：無 分母已另核非零，作精確有理數除法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 before y solution := div(2, 1) 操作後 before y solution = 2 條件：無 分母已另核非零，作精確有理數除法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 before solution row0 ax := mul(1, 2) 操作後 before solution row0 ax = 2 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 before solution row0 by := mul(0, 2) 操作後 before solution row0 by = 0 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 before solution row0 lhs := sum(2, 0) 操作後 before solution row0 lhs = 2 條件：無 把已對齊的同一分量或同一位置相加，不跨分量配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 before solution row0 residual := sub(2, 2) 操作後 before solution row0 residual = 0 條件：無 按題目指定的前項減後項，保留殘差的正負。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 before solution row1 ax := mul(0, 2) 操作後 before solution row1 ax = 0 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 before solution row1 by := mul(1, 2) 操作後 before solution row1 by = 2 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 before solution row1 lhs := sum(0, 2) 操作後 before solution row1 lhs = 2 條件：無 把已對齊的同一分量或同一位置相加，不跨分量配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 before solution row1 residual := sub(2, 2) 操作後 before solution row1 residual = 0 條件：無 按題目指定的前項減後項，保留殘差的正負。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 phase=before;D=1;D*x=2;D*y=2 操作後 solution=[2/1, 2/1];row residuals=[0, 0] 條件：無 非零D允許Cramer消去後除法：D·x=ce−bf，D·y=af−cd。再把有理解代回兩個原列，兩殘差都0；非零D也保證唯一。 步驟識別與依賴規則：system_unique_solution_substitution · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 phase=before;rankA=2;rankAb=2;unknowns=2 操作後 class=唯一解;solution/status=[2/1, 2/1] 條件：無 兩秩不等表示有矛盾列，無解；相等且秩小於2有自由變數，在R上有無限多解；秩2才給唯一解。D=0時不做除以D。 步驟識別與依賴規則：system_consistency_and_free_variables · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 scaled row1[0] := mul(1, 1) 操作後 scaled row1[0] = 1 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 scaled row1[1] := mul(1, 0) 操作後 scaled row1[1] = 0 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 scaled row1[2] := mul(1, 2) 操作後 scaled row1[2] = 2 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 operation=system-row-scaling-solution;t=1;old rows=[[1, 0, 2], [0, 1, 2]] 操作後 new rows=[[1, 0, 2], [0, 1, 2]];invertible=是;inverse=row1 -> row1/(1) 條件：無 整列操作包括右側常數。加任意t倍另一列的逆操作是加−t倍；縮放只有t≠0才可除回。t=0可能恰好保留冗餘系統的解集，但操作本身仍不可逆。 步驟識別與依賴規則：row_operation_inverse_guard · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 after ae := mul(1, 1) 操作後 after ae = 1 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 after bd := mul(0, 0) 操作後 after bd = 0 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 after D := sub(1, 0) 操作後 after D = 1 條件：無 按題目指定的前項減後項，保留殘差的正負。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 after af := mul(1, 2) 操作後 after af = 2 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 after cd := mul(2, 0) 操作後 after cd = 0 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 after minor_x_rhs := sub(2, 0) 操作後 after minor_x_rhs = 2 條件：無 按題目指定的前項減後項，保留殘差的正負。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 after bf := mul(0, 2) 操作後 after bf = 0 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 after ce := mul(2, 1) 操作後 after ce = 2 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 after minor_y_rhs := sub(0, 2) 操作後 after minor_y_rhs = -2 條件：無 按題目指定的前項減後項，保留殘差的正負。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · implies操作前 phase=after;rows=[[1, 0, 2], [0, 1, 2]];2x2 minors=[1, 2, -2] 操作後 rankA=2;rankAb=2 條件：無 係數矩陣的非零2×2子式給秩2；否則查是否有非零係數給秩1。增廣矩陣有三個2×2子式，全部為0才再查非零格，不能漏右側常數。 步驟識別與依賴規則：system_rank_from_complete_minors · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 after x numerator := sub(0, -2) 操作後 after x numerator = 2 條件：無 按題目指定的前項減後項，保留殘差的正負。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 after x solution := div(2, 1) 操作後 after x solution = 2 條件：無 分母已另核非零，作精確有理數除法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 after y solution := div(2, 1) 操作後 after y solution = 2 條件：無 分母已另核非零，作精確有理數除法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 after solution row0 ax := mul(1, 2) 操作後 after solution row0 ax = 2 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 after solution row0 by := mul(0, 2) 操作後 after solution row0 by = 0 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · calculation操作前 after solution row0 lhs := sum(2, 0) 操作後 after solution row0 lhs = 2 條件：無 把已對齊的同一分量或同一位置相加，不跨分量配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 after solution row0 residual := sub(2, 2) 操作後 after solution row0 residual = 0 條件：無 按題目指定的前項減後項，保留殘差的正負。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 after solution row1 ax := mul(0, 2) 操作後 after solution row1 ax = 0 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · calculation操作前 after solution row1 by := mul(1, 2) 操作後 after solution row1 by = 2 條件：無 用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046 S048 · calculation操作前 after solution row1 lhs := sum(0, 2) 操作後 after solution row1 lhs = 2 條件：無 把已對齊的同一分量或同一位置相加，不跨分量配對。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047 S049 · calculation操作前 after solution row1 residual := sub(2, 2) 操作後 after solution row1 residual = 0 條件：無 按題目指定的前項減後項，保留殘差的正負。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048 S050 · implies操作前 phase=after;D=1;D*x=2;D*y=2 操作後 solution=[2/1, 2/1];row residuals=[0, 0] 條件：無 非零D允許Cramer消去後除法：D·x=ce−bf，D·y=af−cd。再把有理解代回兩個原列，兩殘差都0；非零D也保證唯一。 步驟識別與依賴規則：system_unique_solution_substitution · 依賴：G001, S049 S051 · implies操作前 phase=after;rankA=2;rankAb=2;unknowns=2 操作後 class=唯一解;solution/status=[2/1, 2/1] 條件：無 兩秩不等表示有矛盾列，無解；相等且秩小於2有自由變數，在R上有無限多解；秩2才給唯一解。D=0時不做除以D。 步驟識別與依賴規則：system_consistency_and_free_variables · 依賴：G001, S050 ## 逐步反向核對 - S051 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S050 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after solution row1 residual，不以小數近似替代。 - S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after solution row1 lhs，不以小數近似替代。 - S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after solution row1 by，不以小數近似替代。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after solution row1 ax，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after solution row0 residual，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after solution row0 lhs，不以小數近似替代。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after solution row0 by，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after solution row0 ax，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after y solution，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after x solution，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after x numerator，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after minor_y_rhs，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after ce，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after bf，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after minor_x_rhs，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after cd，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after af，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after D，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after bd，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after ae，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 scaled row1[2]，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 scaled row1[1]，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 scaled row1[0]，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before solution row1 residual，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before solution row1 lhs，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before solution row1 by，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before solution row1 ax，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before solution row0 residual，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before solution row0 lhs，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before solution row0 by，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before solution row0 ax，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before y solution，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before x solution，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before x numerator，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before minor_y_rhs，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before ce，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before bf，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before minor_x_rhs，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before cd，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before af，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before D，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before bd，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before ae，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([[1, 0, 2], [0, 1, 2]], [1, 2, 2, 唯一解, [2/1, 2/1]], [1, 2, 2, 唯一解, [2/1, 2/1]], 是, 非零縮放才是可逆列操作) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: fd64a1e405d16556cae5d035059dbd59b7fb587679419d1d28b8f93787af9ca8 - candidate record SHA-256: c6c4ce74297886859a3db0d861fb38a279b36c6a55620ef79ad30ec5eea8bdf0 - semantic review receipt SHA-256: 23ba8196e85a09c03add0a87f96bec5d67a00dc648d1d68eef89101525b41a77 - question-first witness SHA-256: 17d59afc327b7cb8b6e588686d6dc1abbccd384d8ba32b8c046652f96821d705 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261012-advance-20261016-r05-system-linear-equations-0090.json)