# 第 8108 題：非零斜率的精確兩點還原 [返回所在分頁 41](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/41/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261012-advance-20261017-r02-inverse-function-foundations/#q-20261012-advance-20261017-r02-inverse-function-0083) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0015-08108 · q-20261012-advance-20261017-r02-inverse-function-0083 ## 原題與已知條件 R到R仿射模型，斜率非零。f(x)=a*x+b，a=-3、b=-5，有序兩目標y=[(-5)/(3), (8)/(4)]。答 ([g的一次係數, 常數], 兩個原像x, 兩個回代f(x), 兩回代都等於原y資格)。 - G001 — R到R仿射模型，斜率非零。f(x)=a*x+b，a=-3、b=-5，有序兩目標y=[(-5)/(3), (8)/(4)]。答 ([g的一次係數, 常數], 兩個原像x, 兩個回代f(x), 兩回代都等於原y資格)。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-inverse-function](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-inverse-function/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 a=-3;b=-5;raw ys=[[-5, 3], [8, 4]] 操作後 normalized ys=[-5/3, 2/1];a!=0 條件：無 R到R的明示仿射模型且斜率非零，才可由a*x+b=y反解；負原分母合法並先正規化。反函數不是1/f(x)。 步驟識別與依賴規則：affine_nonzero_slope_guard · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 inverse slope := div(1, -3) 操作後 inverse slope = -1/3 條件：無 按本步指定順序精確代入原數據，分母非零才允許除法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 negative intercept := sub(0, -5) 操作後 negative intercept = 5 條件：無 按本步指定順序精確代入原數據，分母非零才允許除法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 inverse intercept := div(5, -3) 操作後 inverse intercept = -5/3 條件：無 按本步指定順序精確代入原數據，分母非零才允許除法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 g(y)=(y-b)/a;f(x)=a*x+b;a!=0 操作後 g(f(x))=((a*x+b)-b)/a=x;f(g(y))=a*((y-b)/a)+b=y 條件：無 分別化簡兩個方向的恆等式，非零a是消去除法的條件；下面兩點只是代值核對，不是由兩點推出全域。 步驟識別與依賴規則：affine_both_global_identities · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 query0 y-b := sub(-5/3, -5) 操作後 query0 y-b = 10/3 條件：無 按本步指定順序精確代入原數據，分母非零才允許除法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 query0 recovered x := div(10/3, -3) 操作後 query0 recovered x = -10/9 條件：無 按本步指定順序精確代入原數據，分母非零才允許除法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 query0 a*x := mul(-3, -10/9) 操作後 query0 a*x = 10/3 條件：無 按本步指定順序精確代入原數據，分母非零才允許除法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 query0 f(x) := sum(10/3, -5) 操作後 query0 f(x) = -5/3 條件：無 按本步指定順序精確代入原數據，分母非零才允許除法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 query0:y=-5/3;x=-10/9 操作後 f(x)=-5/3;matches=是 條件：無 把求得原像代回原本的a與b，不用逆函數再次檢查自己；有序兩個查詢分別保留。 步驟識別與依賴規則：affine_original_map_roundtrip · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 query1 y-b := sub(2, -5) 操作後 query1 y-b = 7 條件：無 按本步指定順序精確代入原數據，分母非零才允許除法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 query1 recovered x := div(7, -3) 操作後 query1 recovered x = -7/3 條件：無 按本步指定順序精確代入原數據，分母非零才允許除法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 query1 a*x := mul(-3, -7/3) 操作後 query1 a*x = 7 條件：無 按本步指定順序精確代入原數據，分母非零才允許除法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 query1 f(x) := sum(7, -5) 操作後 query1 f(x) = 2 條件：無 按本步指定順序精確代入原數據，分母非零才允許除法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 query1:y=2/1;x=-7/3 操作後 f(x)=2/1;matches=是 條件：無 把求得原像代回原本的a與b，不用逆函數再次檢查自己；有序兩個查詢分別保留。 步驟識別與依賴規則：affine_original_map_roundtrip · 依賴：G001, S014 ## 逐步反向核對 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 query1 f(x)，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 query1 a*x，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 query1 recovered x，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 query1 y-b，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 query0 f(x)，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 query0 a*x，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 query0 recovered x，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 query0 y-b，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 inverse intercept，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 negative intercept，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 inverse slope，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([-1/3, -5/3], [-10/9, -7/3], [-5/3, 2/1], 是) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 5e87f17a4632263c7208546c305d1e10983b7a0db7b60e67880782f0bd0b1dc9 - candidate record SHA-256: 0896383a82305c207ac327b0c5cda905217307f53a744b1a1e829fe68e63d695 - semantic review receipt SHA-256: 6ecad9d909199221a07e923f87425e80b3bdec3eed46fe5910d04fca694cae18 - question-first witness SHA-256: e8f00458977a09493b5f9f05ab9e6feec72debaf4c7d1c609d1fc95900a35a1b - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261012-advance-20261017-r02-inverse-function-0083.json)