# 第 8278 題：三分數的穩定有序索引 [返回所在分頁 42](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/42/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261012-advance-20261017-r04-order-relation-foundations/#q-20261012-advance-20261017-r04-order-relation-0003) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0015-08278 · q-20261012-advance-20261017-r04-order-relation-0003 ## 原題與已知條件 R通常全序，原分母為正。原序values=[(1)/(2), (-1)/(2), (0)/(1)]，索引從0起。答 (原序既約值, 由小到大的原索引, 已排序既約值, 相鄰兩比較符號)。同值保留原索引先後。 - G001 — R通常全序，原分母為正。原序values=[(1)/(2), (-1)/(2), (0)/(1)]，索引從0起。答 (原序既約值, 由小到大的原索引, 已排序既約值, 相鄰兩比較符號)。同值保留原索引先後。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-order-relation](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-order-relation/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 usual total order on R;all original denominators positive 操作後 closed endpoints included;negative scaling reverses;zero collapses 條件：無 此題是通常實數全序的精確有理切片，不外推複數或任意偏序；原分母必正，不能先正規化負分母來略過原規格。 步驟識別與依賴規則：real_rational_order_scope · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 original pair0,1 left cross := mul(1, 2) 操作後 original pair0,1 left cross = 2 條件：無 按本步指定順序精確代入原數據，分母非零才允許除法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 original pair0,1 right cross := mul(-1, 2) 操作後 original pair0,1 right cross = -2 條件：無 按本步指定順序精確代入原數據，分母非零才允許除法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 original pair0,1 cross residual := sub(2, -2) 操作後 original pair0,1 cross residual = 4 條件：無 按本步指定順序精確代入原數據，分母非零才允許除法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 original pair0,1:fractions=[1/2, -1/2] 操作後 cross residual=4;comparison=> 條件：無 既約分母皆正，交乘差的符號與兩數大小一致；保留等號，同值排序另外依原索引打破平手。 步驟識別與依賴規則：rational_positive_denominator_comparison · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 original pair0,2 left cross := mul(1, 1) 操作後 original pair0,2 left cross = 1 條件：無 按本步指定順序精確代入原數據，分母非零才允許除法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 original pair0,2 right cross := mul(0, 2) 操作後 original pair0,2 right cross = 0 條件：無 按本步指定順序精確代入原數據，分母非零才允許除法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 original pair0,2 cross residual := sub(1, 0) 操作後 original pair0,2 cross residual = 1 條件：無 按本步指定順序精確代入原數據，分母非零才允許除法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 original pair0,2:fractions=[1/2, 0/1] 操作後 cross residual=1;comparison=> 條件：無 既約分母皆正，交乘差的符號與兩數大小一致；保留等號，同值排序另外依原索引打破平手。 步驟識別與依賴規則：rational_positive_denominator_comparison · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 original pair1,2 left cross := mul(-1, 1) 操作後 original pair1,2 left cross = -1 條件：無 按本步指定順序精確代入原數據，分母非零才允許除法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 original pair1,2 right cross := mul(0, 2) 操作後 original pair1,2 right cross = 0 條件：無 按本步指定順序精確代入原數據，分母非零才允許除法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 original pair1,2 cross residual := sub(-1, 0) 操作後 original pair1,2 cross residual = -1 條件：無 按本步指定順序精確代入原數據，分母非零才允許除法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 original pair1,2:fractions=[-1/2, 0/1] 操作後 cross residual=-1;comparison=< 條件：無 既約分母皆正，交乘差的符號與兩數大小一致；保留等號，同值排序另外依原索引打破平手。 步驟識別與依賴規則：rational_positive_denominator_comparison · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 sorted adjacent0 left cross := mul(-1, 1) 操作後 sorted adjacent0 left cross = -1 條件：無 按本步指定順序精確代入原數據，分母非零才允許除法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 sorted adjacent0 right cross := mul(0, 2) 操作後 sorted adjacent0 right cross = 0 條件：無 按本步指定順序精確代入原數據，分母非零才允許除法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 sorted adjacent0 cross residual := sub(-1, 0) 操作後 sorted adjacent0 cross residual = -1 條件：無 按本步指定順序精確代入原數據，分母非零才允許除法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 sorted adjacent0:fractions=[-1/2, 0/1] 操作後 cross residual=-1;comparison=< 條件：無 既約分母皆正，交乘差的符號與兩數大小一致；保留等號，同值排序另外依原索引打破平手。 步驟識別與依賴規則：rational_positive_denominator_comparison · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 sorted adjacent1 left cross := mul(0, 2) 操作後 sorted adjacent1 left cross = 0 條件：無 按本步指定順序精確代入原數據，分母非零才允許除法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 sorted adjacent1 right cross := mul(1, 1) 操作後 sorted adjacent1 right cross = 1 條件：無 按本步指定順序精確代入原數據，分母非零才允許除法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 sorted adjacent1 cross residual := sub(0, 1) 操作後 sorted adjacent1 cross residual = -1 條件：無 按本步指定順序精確代入原數據，分母非零才允許除法。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 sorted adjacent1:fractions=[0/1, 1/2] 操作後 cross residual=-1;comparison=< 條件：無 既約分母皆正，交乘差的符號與兩數大小一致；保留等號，同值排序另外依原索引打破平手。 步驟識別與依賴規則：rational_positive_denominator_comparison · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 normalized original values=[1/2, -1/2, 0/1] 操作後 stable original indices=[1, 2, 0];sorted values=[-1/2, 0/1, 1/2] 條件：無 比較值相同時保留原索引順序；值可重複，不能去重成集合。 步驟識別與依賴規則：stable_rational_original_index_sort · 依賴：G001, S021 ## 逐步反向核對 - S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 sorted adjacent1 cross residual，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 sorted adjacent1 right cross，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 sorted adjacent1 left cross，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 sorted adjacent0 cross residual，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 sorted adjacent0 right cross，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 sorted adjacent0 left cross，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original pair1,2 cross residual，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original pair1,2 right cross，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original pair1,2 left cross，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original pair0,2 cross residual，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original pair0,2 right cross，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original pair0,2 left cross，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original pair0,1 cross residual，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original pair0,1 right cross，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original pair0,1 left cross，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([1/2, -1/2, 0/1], [1, 2, 0], [-1/2, 0/1, 1/2], [<, <]) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: f6130d7f0ab07419d6609b46aa74f8d53cbe61e761c8ff136d807ee49e8656fa - candidate record SHA-256: e7c24811104eb9f40a742641f7879dc39f724c67c81fa3216ce147b950059f28 - semantic review receipt SHA-256: 6ecad9d909199221a07e923f87425e80b3bdec3eed46fe5910d04fca694cae18 - question-first witness SHA-256: e8f00458977a09493b5f9f05ab9e6feec72debaf4c7d1c609d1fc95900a35a1b - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261012-advance-20261017-r04-order-relation-0003.json)