# 第 8420 題：不存在邊的門檻與定向閉環 [返回所在分頁 43](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/43/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261012-advance-20261017-r06-tree-foundations/#q-20261012-advance-20261017-r06-tree-0095) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0015-08420 · q-20261012-advance-20261017-r06-tree-0095 ## 原題與已知條件 簡單無向圖，Fin頂點從0起。V=Fin(6)=[0, 1, 2, 3, 4, 5]，無向邊列項=[[0, 1], [0, 2], [0, 4], [0, 5], [2, 3]]；各邊兩端皆合法且相異。候選新增邊=[5, 2]。答 (n, 正規邊集, 原樹資格, 兩端合頂點資格, 端點相異資格, 原邊已存在資格, 合法新非邊資格, 較小的新增邊端點到較大的原道路或不適用, 閉回較小新增邊端點的環或不適用)。不是從環中全域最小頂點起列。 - G001 — 簡單無向圖，Fin頂點從0起。V=Fin(6)=[0, 1, 2, 3, 4, 5]，無向邊列項=[[0, 1], [0, 2], [0, 4], [0, 5], [2, 3]]；各邊兩端皆合法且相異。候選新增邊=[5, 2]。答 (n, 正規邊集, 原樹資格, 兩端合頂點資格, 端點相異資格, 原邊已存在資格, 合法新非邊資格, 較小的新增邊端點到較大的原道路或不適用, 閉回較小新增邊端點的環或不適用)。不是從環中全域最小頂點起列。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-tree](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-tree/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 n=6;raw edges=[[0, 1], [0, 2], [0, 4], [0, 5], [2, 3]] 操作後 canonical edges=[[0, 1], [0, 2], [0, 4], [0, 5], [2, 3]] 條件：無 整張簡單無向圖先查端點合型且無自環；邊兩端排序、反向與重複邊只算一次，不以畫法猜相鄰。 步驟識別與依賴規則：simple_graph_edge_normalization · 依賴：G001 S002 · implies操作前 phase=original;vertex=0;all edges=[[0, 1], [0, 2], [0, 4], [0, 5], [2, 3]] 操作後 neighbors=[1, 2, 4, 5];degree=4 條件：無 掃描所有正規邊，只有以本頂點為端點的邊才給一個不同鄰居；原頂點標籤保留。 步驟識別與依賴規則：complete_graph_neighbor_inventory · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 phase=original;vertex=1;all edges=[[0, 1], [0, 2], [0, 4], [0, 5], [2, 3]] 操作後 neighbors=[0];degree=1 條件：無 掃描所有正規邊，只有以本頂點為端點的邊才給一個不同鄰居；原頂點標籤保留。 步驟識別與依賴規則：complete_graph_neighbor_inventory · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 phase=original;vertex=2;all edges=[[0, 1], [0, 2], [0, 4], [0, 5], [2, 3]] 操作後 neighbors=[0, 3];degree=2 條件：無 掃描所有正規邊，只有以本頂點為端點的邊才給一個不同鄰居；原頂點標籤保留。 步驟識別與依賴規則：complete_graph_neighbor_inventory · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 phase=original;vertex=3;all edges=[[0, 1], [0, 2], [0, 4], [0, 5], [2, 3]] 操作後 neighbors=[2];degree=1 條件：無 掃描所有正規邊，只有以本頂點為端點的邊才給一個不同鄰居；原頂點標籤保留。 步驟識別與依賴規則：complete_graph_neighbor_inventory · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 phase=original;vertex=4;all edges=[[0, 1], [0, 2], [0, 4], [0, 5], [2, 3]] 操作後 neighbors=[0];degree=1 條件：無 掃描所有正規邊，只有以本頂點為端點的邊才給一個不同鄰居；原頂點標籤保留。 步驟識別與依賴規則：complete_graph_neighbor_inventory · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 phase=original;vertex=5;all edges=[[0, 1], [0, 2], [0, 4], [0, 5], [2, 3]] 操作後 neighbors=[0];degree=1 條件：無 掃描所有正規邊，只有以本頂點為端點的邊才給一個不同鄰居；原頂點標籤保留。 步驟識別與依賴規則：complete_graph_neighbor_inventory · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 phase=original;root=0;depth=0;frontier=[0] 操作後 next newly reached=[1, 2, 4, 5];component seen=[0, 1, 2, 4, 5] 條件：無 只沿正規邊擴展到尚未見的原標籤；前緣清空才完成這個分量，然後再從其他未見頂點開始。 步驟識別與依賴規則：tree_complete_reachability_layer · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 phase=original;root=0;depth=1;frontier=[1, 2, 4, 5] 操作後 next newly reached=[3];component seen=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 條件：無 只沿正規邊擴展到尚未見的原標籤；前緣清空才完成這個分量，然後再從其他未見頂點開始。 步驟識別與依賴規則：tree_complete_reachability_layer · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 phase=original;root=0;depth=2;frontier=[3] 操作後 next newly reached=[];component seen=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 條件：無 只沿正規邊擴展到尚未見的原標籤；前緣清空才完成這個分量，然後再從其他未見頂點開始。 步驟識別與依賴規則：tree_complete_reachability_layer · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 phase=original;spanning forest=[[0, 1], [0, 2], [0, 4], [0, 5], [2, 3]];all edges=[[0, 1], [0, 2], [0, 4], [0, 5], [2, 3]] 操作後 nonforest edges=[];cyclic=否 條件：無 逐層首次到達邊形成各分量的樹；其餘邊連接已有樹道路的兩端並產生環。這先建立分量，不是只靠邊數判原圖為樹。 步驟識別與依賴規則：spanning_forest_cycle_witness · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 phase=original;vertices=[0, 1, 2, 3, 4, 5];components=[[0, 1, 2, 3, 4, 5]];cyclic=否 操作後 pairwise reachable=是;nonempty=是;tree=是 條件：無 樹要求非空、單一分量且無環。空頂點集的兩兩可達條件空泛為真，卻不滿足非空；單點無邊是樹，度0不是葉。 步驟識別與依賴規則：nonempty_connected_acyclic_tree_gate · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 original tree=是;edge=[5, 2];typed=[是, 是];distinct=是;already edge=否 操作後 new nonedge qualified=是 條件：無 必須原圖是樹、兩端合型相異、原邊不存在才加邊；現有邊重複列項不產生新環，自環亦不是此模型。 步驟識別與依賴規則：original_tree_new_nonedge_guard · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 phase=new nonedge;prefix=[2];next=0 操作後 edge=[0, 2] present;new prefix=[2, 0] 條件：無 每一步沿一條原邊到未重複頂點；樹中兩點的簡單道路唯一，端點相同則不走任何邊。 步驟識別與依賴規則：qualified_tree_path_edge · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 phase=new nonedge;prefix=[2, 0];next=5 操作後 edge=[0, 5] present;new prefix=[2, 0, 5] 條件：無 每一步沿一條原邊到未重複頂點；樹中兩點的簡單道路唯一，端點相同則不走任何邊。 步驟識別與依賴規則：qualified_tree_path_edge · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 phase=new nonedge;start=2;end=5 操作後 unique path=[2, 0, 5] 條件：無 此道路的唯一性依賴前面原樹資格，不對一般含環圖宣稱唯一道路。 步驟識別與依賴規則：qualified_tree_path_result · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 original path=[2, 0, 5];new edge=[2, 5] 操作後 closed cycle=[2, 0, 5, 2] 條件：無 原樹唯一道路由較小新增邊端點起，到較大端點，再沿新邊閉回起點；不另改成環內全域最小頂點起列。 步驟識別與依賴規則：new_edge_closes_original_unique_path · 依賴：G001, S016 ## 逐步反向核對 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (6, [[0, 1], [0, 2], [0, 4], [0, 5], [2, 3]], 是, [是, 是], 是, 否, 是, [2, 0, 5], [2, 0, 5, 2]) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: c304f5a2184e4f15dd02bf4cf3d104e7c7a61f415450f5ad640f8b27baa0ba56 - candidate record SHA-256: bfa7006e549721ef1139b45d8a09e91ce0c54ee7eb256d59e38e52fd17d59120 - semantic review receipt SHA-256: 6ecad9d909199221a07e923f87425e80b3bdec3eed46fe5910d04fca694cae18 - question-first witness SHA-256: e8f00458977a09493b5f9f05ab9e6feec72debaf4c7d1c609d1fc95900a35a1b - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261012-advance-20261017-r06-tree-0095.json)