# 第 31057 題：全有限失敗集與最小見證 [返回所在分頁 156](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/156/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261012-advance-20261017-r07-counterexample-foundations/#q-20261012-advance-20261017-r07-counterexample-0007) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0061-31057 · q-20261012-advance-20261017-r07-counterexample-0007 ## 原題與已知條件 明示有限論域，完整布林述詞表。U=Fin(5)=[0, 1, 2, 3, 4]，依索引列P的完整布林述詞表=[是, 是, 否, 否, 否]，是表示真、否表示假。答 (按索引列[i,P(i)]的完整述詞表, 所有失敗索引, 全稱為真資格, 最小失敗索引或不存在)。布林欄以是／否回答。 - G001 — 明示有限論域，完整布林述詞表。U=Fin(5)=[0, 1, 2, 3, 4]，依索引列P的完整布林述詞表=[是, 是, 否, 否, 否]，是表示真、否表示假。答 (按索引列[i,P(i)]的完整述詞表, 所有失敗索引, 全稱為真資格, 最小失敗索引或不存在)。布林欄以是／否回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-counterexample](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-counterexample/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-density17-counter-full-failure-min, counter-full-failure-min, domain, Fin_predicate_table] 操作後 derived = [[indexed_table, fail, universal, least_or_tag]] 條件：無 先核本題欄位與來源協議：distance只用完整座標frame，其他用domain；離散運算local-hyphen，舊bank用underscore。輸出欄序及型別依題族，保留原始中英資料與狀態。 步驟識別與依賴規則：R61_SOURCE_exact_keys_operation_domain_OR_frame_and_output_roles · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [5, 0, 是] 操作後 derived = [[0, 是], 否] 條件：無 表中值必須是Boolean，不以0/1代替。原0-based標記i的False才是反例，不可重編號或由缺資料推為False。 步驟識別與依賴規則：Counter_EACH_original_label_EXACT_Boolean_and_failure_test · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 source roles = [5, 1, 是] 操作後 derived = [[1, 是], 否] 條件：無 表中值必須是Boolean，不以0/1代替。原0-based標記i的False才是反例，不可重編號或由缺資料推為False。 步驟識別與依賴規則：Counter_EACH_original_label_EXACT_Boolean_and_failure_test · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 source roles = [5, 2, 否] 操作後 derived = [[2, 否], 是] 條件：無 表中值必須是Boolean，不以0/1代替。原0-based標記i的False才是反例，不可重編號或由缺資料推為False。 步驟識別與依賴規則：Counter_EACH_original_label_EXACT_Boolean_and_failure_test · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 source roles = [5, 3, 否] 操作後 derived = [[3, 否], 是] 條件：無 表中值必須是Boolean，不以0/1代替。原0-based標記i的False才是反例，不可重編號或由缺資料推為False。 步驟識別與依賴規則：Counter_EACH_original_label_EXACT_Boolean_and_failure_test · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 source roles = [5, 4, 否] 操作後 derived = [[4, 否], 是] 條件：無 表中值必須是Boolean，不以0/1代替。原0-based標記i的False才是反例，不可重編號或由缺資料推為False。 步驟識別與依賴規則：Counter_EACH_original_label_EXACT_Boolean_and_failure_test · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 source roles = [5, [是, 是, 否, 否, 否]] 操作後 derived = [[[0, 是], [1, 是], [2, 否], [3, 否], [4, 否]], [2, 3, 4], 否] 條件：無 遍歷整個已給有限論域後，無反例才是此表的全稱真；空論域也為真。這個指定有限模型不等於任意無限命題的證明。 步驟識別與依賴規則：Counter_COMPLETE_finite_table_failures_EMPTY_universal_true · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 source roles = [[[0, 是], [1, 是], [2, 否], [3, 否], [4, 否]], [2, 3, 4]] 操作後 derived = [否, 2] 條件：無 反例按原標記遞增排列，第一個是最小反例；0是有效標記，不可當none。沒有反例時用不存在標籤而非數值0。 步驟識別與依賴規則：Counter_LEAST_failure_zero_is_real_index_NOT_absence · 依賴：G001, S007 ## 逐步反向核對 - S008 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。 - S007 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。 - S006 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。 - S005 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。 - S004 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。 - S003 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。 - S002 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。 - S001 · premise_and_result_audit — 以原始輸入、型別及本步條件反向代回核對，不聲稱結論能唯一還原所有前提。這是來源綁定候選，不是獨立審查或形式證明。 ## 結論 ([[0, 是], [1, 是], [2, 否], [3, 否], [4, 否]], [2, 3, 4], 否, 2) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 823d12dccbe6c2a2a5a378574dad907c98648d89812a40a053682df8b8c5925d - candidate record SHA-256: 80904cf16d9d8f1db6680ff116407d6c7df2b9212341e779171c890b3517d215 - semantic review receipt SHA-256: 5403317467ff7c6b74c18ae7211530d0156ebc67d63fc00a3e07b81a201d3d69 - question-first witness SHA-256: c2b5022aa77f803cd3e1ba9ce162a707da0281aa5bb5289111a97de51fe8c495 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261012-advance-20261017-r07-counterexample-0007.json)