# 第 9280 題：有限拓撲完整核對 [返回所在分頁 47](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/47/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261018-r01-topological-space-foundations/#q-20261013-advance-20261018-r01-topological-space-0030) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0017-09280 · q-20261013-advance-20261018-r01-topological-space-0030 ## 原題與已知條件 有限底集合完整資料。操作=topology-open-closed-inventory；資料={"n":4,"opens":[[],[0],[0,2],[0,1,2],[0,1,2,3]]}。請依 [n,opens,closed,clopen] 的欄序回答。 - G001 — 有限底集合完整資料。操作=topology-open-closed-inventory；資料={"n":4,"opens":[[],[0],[0,2],[0,1,2],[0,1,2,3]]}。請依 [n,opens,closed,clopen] 的欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-topological-space](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-topological-space/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 space=given;n=4;raw family=[[], [0], [0, 2], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]] 操作後 universe=[0, 1, 2, 3];canonical opens=[[], [0], [0, 2], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]] 條件：無 每個候選先合型為同一Fin(n)的子集，去重元素及重複子集，再以二進位mask排序；開集族與底集合是不同層資料。 步驟識別與依賴規則：finite_topology_normalize_relative_universe · 依賴：G001 S002 · implies操作前 space=given;empty=是;full=是;union closed=是;intersection closed=是 操作後 topology=是;first union failure=無;first intersection failure=無 條件：無 四條件同時成立才是拓撲。底集合有限，所以不同開集也只有有限多個；任意聯集可約成有限不同成員的聯集，由二元閉合與空聯集得到。空交集需全集，無成員時二元條件真也不能略過空集／全集。 步驟識別與依賴規則：finite_topology_axioms_joint_gate · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 universe Fin(4);open=[] 操作後 relative complement=[0, 1, 2, 3];closed=是 條件：無 閉集由同一底集合中開集的補集得到，不是用『不是開集』作定義。 步驟識別與依賴規則：closed_as_relative_complement_of_open · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 universe Fin(4);open=[0] 操作後 relative complement=[1, 2, 3];closed=是 條件：無 閉集由同一底集合中開集的補集得到，不是用『不是開集』作定義。 步驟識別與依賴規則：closed_as_relative_complement_of_open · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 universe Fin(4);open=[0, 2] 操作後 relative complement=[1, 3];closed=是 條件：無 閉集由同一底集合中開集的補集得到，不是用『不是開集』作定義。 步驟識別與依賴規則：closed_as_relative_complement_of_open · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 universe Fin(4);open=[0, 1, 2] 操作後 relative complement=[3];closed=是 條件：無 閉集由同一底集合中開集的補集得到，不是用『不是開集』作定義。 步驟識別與依賴規則：closed_as_relative_complement_of_open · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 universe Fin(4);open=[0, 1, 2, 3] 操作後 relative complement=[];closed=是 條件：無 閉集由同一底集合中開集的補集得到，不是用『不是開集』作定義。 步驟識別與依賴規則：closed_as_relative_complement_of_open · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 opens=[[], [0], [0, 2], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]];closed sets=[[], [3], [1, 3], [1, 2, 3], [0, 1, 2, 3]] 操作後 clopen sets=[[], [0, 1, 2, 3]] 條件：無 同時在兩個族的集合才同時開閉；空集與全集都在，其他集合也可能同時開閉。 步驟識別與依賴規則：clopen_intersection_of_properties · 依賴：G001, S007 ## 逐步反向核對 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (4, [[], [0], [0, 2], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]], [[], [3], [1, 3], [1, 2, 3], [0, 1, 2, 3]], [[], [0, 1, 2, 3]]) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: f40bb3b645693873b855bd1c65eb4647a4b618aef54967e61a02a3dc1512dd4e - candidate record SHA-256: 55dbed164adf698fc4f62862899f9f3a8ba149dda6cbcf390d4d820e67dacb0e - semantic review receipt SHA-256: abad28564830bb9b6ef069ca5a1aa128ce7b1a67a5cb8fe6d868a06db73bcfb8 - question-first witness SHA-256: 43126988479968837abe086263dac1b24c37463ad80e00d2e280a7b8e9036a04 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261018-r01-topological-space-0030.json)