# 第 9229 題：有限拓撲完整核對 [返回所在分頁 47](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/47/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261018-r01-topological-space-foundations/#q-20261013-advance-20261018-r01-topological-space-0054) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0017-09229 · q-20261013-advance-20261018-r01-topological-space-0054 ## 原題與已知條件 有限底集合完整資料。操作=topology-discrete-indiscrete；資料={"n":4,"opens":[[],[1],[0,1],[0,1,2],[0,1,2,3]]}。請依 [n,opens,topology,classification] 的欄序回答。 - G001 — 有限底集合完整資料。操作=topology-discrete-indiscrete；資料={"n":4,"opens":[[],[1],[0,1],[0,1,2],[0,1,2,3]]}。請依 [n,opens,topology,classification] 的欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-topological-space](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-topological-space/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 space=given;n=4;raw family=[[], [1], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]] 操作後 universe=[0, 1, 2, 3];canonical opens=[[], [1], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]] 條件：無 每個候選先合型為同一Fin(n)的子集，去重元素及重複子集，再以二進位mask排序；開集族與底集合是不同層資料。 步驟識別與依賴規則：finite_topology_normalize_relative_universe · 依賴：G001 S002 · implies操作前 space=given;canonical family=[[], [1], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]] 操作後 self pairs are idempotent;unordered distinct pairs cover all ordered pairs 條件：無 A∪A=A、A∩A=A自動在候選族；聯集與交集可交換，因此列全部不同無序對即可完整核所有有序對，不是抽樣。 步驟識別與依賴規則：binary_set_operation_symmetry_coverage · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 space=given;A=[];B=[1] 操作後 union=[1];in family=是;intersection=[];in family=是 條件：無 依集合定義逐一求聯集與交集，分別查是否仍在原族；保留首次反例的原兩集合與實際結果。 步驟識別與依賴規則：finite_topology_complete_binary_pair · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 space=given;A=[];B=[0, 1] 操作後 union=[0, 1];in family=是;intersection=[];in family=是 條件：無 依集合定義逐一求聯集與交集，分別查是否仍在原族；保留首次反例的原兩集合與實際結果。 步驟識別與依賴規則：finite_topology_complete_binary_pair · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 space=given;A=[];B=[0, 1, 2] 操作後 union=[0, 1, 2];in family=是;intersection=[];in family=是 條件：無 依集合定義逐一求聯集與交集，分別查是否仍在原族；保留首次反例的原兩集合與實際結果。 步驟識別與依賴規則：finite_topology_complete_binary_pair · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 space=given;A=[];B=[0, 1, 2, 3] 操作後 union=[0, 1, 2, 3];in family=是;intersection=[];in family=是 條件：無 依集合定義逐一求聯集與交集，分別查是否仍在原族；保留首次反例的原兩集合與實際結果。 步驟識別與依賴規則：finite_topology_complete_binary_pair · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 space=given;A=[1];B=[0, 1] 操作後 union=[0, 1];in family=是;intersection=[1];in family=是 條件：無 依集合定義逐一求聯集與交集，分別查是否仍在原族；保留首次反例的原兩集合與實際結果。 步驟識別與依賴規則：finite_topology_complete_binary_pair · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 space=given;A=[1];B=[0, 1, 2] 操作後 union=[0, 1, 2];in family=是;intersection=[1];in family=是 條件：無 依集合定義逐一求聯集與交集，分別查是否仍在原族；保留首次反例的原兩集合與實際結果。 步驟識別與依賴規則：finite_topology_complete_binary_pair · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 space=given;A=[1];B=[0, 1, 2, 3] 操作後 union=[0, 1, 2, 3];in family=是;intersection=[1];in family=是 條件：無 依集合定義逐一求聯集與交集，分別查是否仍在原族；保留首次反例的原兩集合與實際結果。 步驟識別與依賴規則：finite_topology_complete_binary_pair · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 space=given;A=[0, 1];B=[0, 1, 2] 操作後 union=[0, 1, 2];in family=是;intersection=[0, 1];in family=是 條件：無 依集合定義逐一求聯集與交集，分別查是否仍在原族；保留首次反例的原兩集合與實際結果。 步驟識別與依賴規則：finite_topology_complete_binary_pair · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 space=given;A=[0, 1];B=[0, 1, 2, 3] 操作後 union=[0, 1, 2, 3];in family=是;intersection=[0, 1];in family=是 條件：無 依集合定義逐一求聯集與交集，分別查是否仍在原族；保留首次反例的原兩集合與實際結果。 步驟識別與依賴規則：finite_topology_complete_binary_pair · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 space=given;A=[0, 1, 2];B=[0, 1, 2, 3] 操作後 union=[0, 1, 2, 3];in family=是;intersection=[0, 1, 2];in family=是 條件：無 依集合定義逐一求聯集與交集，分別查是否仍在原族；保留首次反例的原兩集合與實際結果。 步驟識別與依賴規則：finite_topology_complete_binary_pair · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 space=given;empty=是;full=是;union closed=是;intersection closed=是 操作後 topology=是;first union failure=無;first intersection failure=無 條件：無 四條件同時成立才是拓撲。底集合有限，所以不同開集也只有有限多個；任意聯集可約成有限不同成員的聯集，由二元閉合與空聯集得到。空交集需全集，無成員時二元條件真也不能略過空集／全集。 步驟識別與依賴規則：finite_topology_axioms_joint_gate · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 topology qualified=是;family size=5;powerset size=16 操作後 classification=其他拓撲 條件：無 先過拓撲資格再分。全部2^n子集為離散，否則只含空集及全集為不可分；空底集合兩者相同，協定優先標離散。 步驟識別與依賴規則：topology_classification_after_qualification · 依賴：G001, S013 ## 逐步反向核對 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (4, [[], [1], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]], 是, 其他拓撲) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: a1b36cb6dafe0bbfdea2eb4a19241a0bc0276bfb5b98d5fc763e1be3398f52d6 - candidate record SHA-256: c901b9c714142b199e0a62ee4fd0b8713fee9f35caa32ae6af1c99524f8daf5c - semantic review receipt SHA-256: abad28564830bb9b6ef069ca5a1aa128ce7b1a67a5cb8fe6d868a06db73bcfb8 - question-first witness SHA-256: 43126988479968837abe086263dac1b24c37463ad80e00d2e280a7b8e9036a04 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261018-r01-topological-space-0054.json)