# 第 8793 題：自然數整除與零邊界

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R0016-08793 · q-20261013-advance-20261018-r02-natural-divisibility-0068



## 原題與已知條件

自然數包含0。操作=divisibility-common-multiples；資料={"a":3,"b":7,"bound":47}。請依 [a,b,bound,common_multiples] 的欄序回答。


- G001 — 自然數包含0。操作=divisibility-common-multiples；資料={"a":3,"b":7,"bound":47}。請依 [a,b,bound,common_multiples] 的欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-natural-divisibility](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-natural-divisibility/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

natural numbers include0;b is divisible by a iff b=a*k for some natural k

操作後

0 divides only0;every natural divides0

條件：無

整除是存在乘數的關係，不先假定除數正或非零；a∣0包含a=0。正因數清單另排除0，兩個問題不混用。

步驟識別與依賴規則：natural_divisibility_zero_scope · 依賴：G001





S002 · implies操作前

window0 first divisor:divide natural 0 by positive 3

操作後

0=0·3+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

window0 first divisor:a=3;b=0;quotient=0;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=0

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

window0 second divisor:divide natural 0 by positive 7

操作後

0=0·7+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

window0 second divisor:a=7;b=0;quotient=0;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=0

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S004





S006 · implies操作前

candidate=0;a divides=是;b divides=是

操作後

common multiple=是

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S005





S007 · implies操作前

window1 first divisor:divide natural 1 by positive 3

操作後

1=0·3+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S006





S008 · implies操作前

window1 first divisor:a=3;b=1;quotient=0;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S007





S009 · implies操作前

window1 second divisor:divide natural 1 by positive 7

操作後

1=0·7+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S008





S010 · implies操作前

window1 second divisor:a=7;b=1;quotient=0;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S009





S011 · implies操作前

candidate=1;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S010





S012 · implies操作前

window2 first divisor:divide natural 2 by positive 3

操作後

2=0·3+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S011





S013 · implies操作前

window2 first divisor:a=3;b=2;quotient=0;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S012





S014 · implies操作前

window2 second divisor:divide natural 2 by positive 7

操作後

2=0·7+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S013





S015 · implies操作前

window2 second divisor:a=7;b=2;quotient=0;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S014





S016 · implies操作前

candidate=2;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S015





S017 · implies操作前

window3 first divisor:divide natural 3 by positive 3

操作後

3=1·3+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S016





S018 · implies操作前

window3 first divisor:a=3;b=3;quotient=1;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=1

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S017





S019 · implies操作前

window3 second divisor:divide natural 3 by positive 7

操作後

3=0·7+3

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S018





S020 · implies操作前

window3 second divisor:a=7;b=3;quotient=0;remainder=3

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S019





S021 · implies操作前

candidate=3;a divides=是;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S020





S022 · implies操作前

window4 first divisor:divide natural 4 by positive 3

操作後

4=1·3+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S021





S023 · implies操作前

window4 first divisor:a=3;b=4;quotient=1;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S022





S024 · implies操作前

window4 second divisor:divide natural 4 by positive 7

操作後

4=0·7+4

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S023





S025 · implies操作前

window4 second divisor:a=7;b=4;quotient=0;remainder=4

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S024





S026 · implies操作前

candidate=4;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S025





S027 · implies操作前

window5 first divisor:divide natural 5 by positive 3

操作後

5=1·3+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S026





S028 · implies操作前

window5 first divisor:a=3;b=5;quotient=1;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S027





S029 · implies操作前

window5 second divisor:divide natural 5 by positive 7

操作後

5=0·7+5

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S028





S030 · implies操作前

window5 second divisor:a=7;b=5;quotient=0;remainder=5

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S029





S031 · implies操作前

candidate=5;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S030





S032 · implies操作前

window6 first divisor:divide natural 6 by positive 3

操作後

6=2·3+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S031





S033 · implies操作前

window6 first divisor:a=3;b=6;quotient=2;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=2

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S032





S034 · implies操作前

window6 second divisor:divide natural 6 by positive 7

操作後

6=0·7+6

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S033





S035 · implies操作前

window6 second divisor:a=7;b=6;quotient=0;remainder=6

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S034





S036 · implies操作前

candidate=6;a divides=是;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S035





S037 · implies操作前

window7 first divisor:divide natural 7 by positive 3

操作後

7=2·3+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S036





S038 · implies操作前

window7 first divisor:a=3;b=7;quotient=2;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S037





S039 · implies操作前

window7 second divisor:divide natural 7 by positive 7

操作後

7=1·7+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S038





S040 · implies操作前

window7 second divisor:a=7;b=7;quotient=1;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=1

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S039





S041 · implies操作前

candidate=7;a divides=否;b divides=是

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S040





S042 · implies操作前

window8 first divisor:divide natural 8 by positive 3

操作後

8=2·3+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S041





S043 · implies操作前

window8 first divisor:a=3;b=8;quotient=2;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S042





S044 · implies操作前

window8 second divisor:divide natural 8 by positive 7

操作後

8=1·7+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S043





S045 · implies操作前

window8 second divisor:a=7;b=8;quotient=1;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S044





S046 · implies操作前

candidate=8;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S045





S047 · implies操作前

window9 first divisor:divide natural 9 by positive 3

操作後

9=3·3+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S046





S048 · implies操作前

window9 first divisor:a=3;b=9;quotient=3;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=3

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S047





S049 · implies操作前

window9 second divisor:divide natural 9 by positive 7

操作後

9=1·7+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S048





S050 · implies操作前

window9 second divisor:a=7;b=9;quotient=1;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S049





S051 · implies操作前

candidate=9;a divides=是;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S050





S052 · implies操作前

window10 first divisor:divide natural 10 by positive 3

操作後

10=3·3+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S051





S053 · implies操作前

window10 first divisor:a=3;b=10;quotient=3;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S052





S054 · implies操作前

window10 second divisor:divide natural 10 by positive 7

操作後

10=1·7+3

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S053





S055 · implies操作前

window10 second divisor:a=7;b=10;quotient=1;remainder=3

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S054





S056 · implies操作前

candidate=10;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S055





S057 · implies操作前

window11 first divisor:divide natural 11 by positive 3

操作後

11=3·3+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S056





S058 · implies操作前

window11 first divisor:a=3;b=11;quotient=3;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S057





S059 · implies操作前

window11 second divisor:divide natural 11 by positive 7

操作後

11=1·7+4

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S058





S060 · implies操作前

window11 second divisor:a=7;b=11;quotient=1;remainder=4

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S059





S061 · implies操作前

candidate=11;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S060





S062 · implies操作前

window12 first divisor:divide natural 12 by positive 3

操作後

12=4·3+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S061





S063 · implies操作前

window12 first divisor:a=3;b=12;quotient=4;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=4

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S062





S064 · implies操作前

window12 second divisor:divide natural 12 by positive 7

操作後

12=1·7+5

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S063





S065 · implies操作前

window12 second divisor:a=7;b=12;quotient=1;remainder=5

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S064





S066 · implies操作前

candidate=12;a divides=是;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S065





S067 · implies操作前

window13 first divisor:divide natural 13 by positive 3

操作後

13=4·3+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S066





S068 · implies操作前

window13 first divisor:a=3;b=13;quotient=4;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S067





S069 · implies操作前

window13 second divisor:divide natural 13 by positive 7

操作後

13=1·7+6

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S068





S070 · implies操作前

window13 second divisor:a=7;b=13;quotient=1;remainder=6

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S069





S071 · implies操作前

candidate=13;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S070





S072 · implies操作前

window14 first divisor:divide natural 14 by positive 3

操作後

14=4·3+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S071





S073 · implies操作前

window14 first divisor:a=3;b=14;quotient=4;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S072





S074 · implies操作前

window14 second divisor:divide natural 14 by positive 7

操作後

14=2·7+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S073





S075 · implies操作前

window14 second divisor:a=7;b=14;quotient=2;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=2

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S074





S076 · implies操作前

candidate=14;a divides=否;b divides=是

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S075





S077 · implies操作前

window15 first divisor:divide natural 15 by positive 3

操作後

15=5·3+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S076





S078 · implies操作前

window15 first divisor:a=3;b=15;quotient=5;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=5

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S077





S079 · implies操作前

window15 second divisor:divide natural 15 by positive 7

操作後

15=2·7+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S078





S080 · implies操作前

window15 second divisor:a=7;b=15;quotient=2;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S079





S081 · implies操作前

candidate=15;a divides=是;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S080





S082 · implies操作前

window16 first divisor:divide natural 16 by positive 3

操作後

16=5·3+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S081





S083 · implies操作前

window16 first divisor:a=3;b=16;quotient=5;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S082





S084 · implies操作前

window16 second divisor:divide natural 16 by positive 7

操作後

16=2·7+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S083





S085 · implies操作前

window16 second divisor:a=7;b=16;quotient=2;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S084





S086 · implies操作前

candidate=16;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S085





S087 · implies操作前

window17 first divisor:divide natural 17 by positive 3

操作後

17=5·3+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S086





S088 · implies操作前

window17 first divisor:a=3;b=17;quotient=5;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S087





S089 · implies操作前

window17 second divisor:divide natural 17 by positive 7

操作後

17=2·7+3

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S088





S090 · implies操作前

window17 second divisor:a=7;b=17;quotient=2;remainder=3

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S089





S091 · implies操作前

candidate=17;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S090





S092 · implies操作前

window18 first divisor:divide natural 18 by positive 3

操作後

18=6·3+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S091





S093 · implies操作前

window18 first divisor:a=3;b=18;quotient=6;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=6

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S092





S094 · implies操作前

window18 second divisor:divide natural 18 by positive 7

操作後

18=2·7+4

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S093





S095 · implies操作前

window18 second divisor:a=7;b=18;quotient=2;remainder=4

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S094





S096 · implies操作前

candidate=18;a divides=是;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S095





S097 · implies操作前

window19 first divisor:divide natural 19 by positive 3

操作後

19=6·3+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S096





S098 · implies操作前

window19 first divisor:a=3;b=19;quotient=6;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S097





S099 · implies操作前

window19 second divisor:divide natural 19 by positive 7

操作後

19=2·7+5

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S098





S100 · implies操作前

window19 second divisor:a=7;b=19;quotient=2;remainder=5

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S099





S101 · implies操作前

candidate=19;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S100





S102 · implies操作前

window20 first divisor:divide natural 20 by positive 3

操作後

20=6·3+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S101





S103 · implies操作前

window20 first divisor:a=3;b=20;quotient=6;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S102





S104 · implies操作前

window20 second divisor:divide natural 20 by positive 7

操作後

20=2·7+6

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S103





S105 · implies操作前

window20 second divisor:a=7;b=20;quotient=2;remainder=6

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S104





S106 · implies操作前

candidate=20;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S105





S107 · implies操作前

window21 first divisor:divide natural 21 by positive 3

操作後

21=7·3+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S106





S108 · implies操作前

window21 first divisor:a=3;b=21;quotient=7;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=7

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S107





S109 · implies操作前

window21 second divisor:divide natural 21 by positive 7

操作後

21=3·7+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S108





S110 · implies操作前

window21 second divisor:a=7;b=21;quotient=3;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=3

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S109





S111 · implies操作前

candidate=21;a divides=是;b divides=是

操作後

common multiple=是

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S110





S112 · implies操作前

window22 first divisor:divide natural 22 by positive 3

操作後

22=7·3+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S111





S113 · implies操作前

window22 first divisor:a=3;b=22;quotient=7;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S112





S114 · implies操作前

window22 second divisor:divide natural 22 by positive 7

操作後

22=3·7+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S113





S115 · implies操作前

window22 second divisor:a=7;b=22;quotient=3;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S114





S116 · implies操作前

candidate=22;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S115





S117 · implies操作前

window23 first divisor:divide natural 23 by positive 3

操作後

23=7·3+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S116





S118 · implies操作前

window23 first divisor:a=3;b=23;quotient=7;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S117





S119 · implies操作前

window23 second divisor:divide natural 23 by positive 7

操作後

23=3·7+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S118





S120 · implies操作前

window23 second divisor:a=7;b=23;quotient=3;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S119





S121 · implies操作前

candidate=23;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S120





S122 · implies操作前

window24 first divisor:divide natural 24 by positive 3

操作後

24=8·3+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S121





S123 · implies操作前

window24 first divisor:a=3;b=24;quotient=8;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=8

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S122





S124 · implies操作前

window24 second divisor:divide natural 24 by positive 7

操作後

24=3·7+3

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S123





S125 · implies操作前

window24 second divisor:a=7;b=24;quotient=3;remainder=3

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S124





S126 · implies操作前

candidate=24;a divides=是;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S125





S127 · implies操作前

window25 first divisor:divide natural 25 by positive 3

操作後

25=8·3+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S126





S128 · implies操作前

window25 first divisor:a=3;b=25;quotient=8;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S127





S129 · implies操作前

window25 second divisor:divide natural 25 by positive 7

操作後

25=3·7+4

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S128





S130 · implies操作前

window25 second divisor:a=7;b=25;quotient=3;remainder=4

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S129





S131 · implies操作前

candidate=25;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S130





S132 · implies操作前

window26 first divisor:divide natural 26 by positive 3

操作後

26=8·3+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S131





S133 · implies操作前

window26 first divisor:a=3;b=26;quotient=8;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S132





S134 · implies操作前

window26 second divisor:divide natural 26 by positive 7

操作後

26=3·7+5

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S133





S135 · implies操作前

window26 second divisor:a=7;b=26;quotient=3;remainder=5

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S134





S136 · implies操作前

candidate=26;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S135





S137 · implies操作前

window27 first divisor:divide natural 27 by positive 3

操作後

27=9·3+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S136





S138 · implies操作前

window27 first divisor:a=3;b=27;quotient=9;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=9

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S137





S139 · implies操作前

window27 second divisor:divide natural 27 by positive 7

操作後

27=3·7+6

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S138





S140 · implies操作前

window27 second divisor:a=7;b=27;quotient=3;remainder=6

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S139





S141 · implies操作前

candidate=27;a divides=是;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S140





S142 · implies操作前

window28 first divisor:divide natural 28 by positive 3

操作後

28=9·3+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S141





S143 · implies操作前

window28 first divisor:a=3;b=28;quotient=9;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S142





S144 · implies操作前

window28 second divisor:divide natural 28 by positive 7

操作後

28=4·7+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S143





S145 · implies操作前

window28 second divisor:a=7;b=28;quotient=4;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=4

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S144





S146 · implies操作前

candidate=28;a divides=否;b divides=是

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S145





S147 · implies操作前

window29 first divisor:divide natural 29 by positive 3

操作後

29=9·3+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S146





S148 · implies操作前

window29 first divisor:a=3;b=29;quotient=9;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S147





S149 · implies操作前

window29 second divisor:divide natural 29 by positive 7

操作後

29=4·7+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S148





S150 · implies操作前

window29 second divisor:a=7;b=29;quotient=4;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S149





S151 · implies操作前

candidate=29;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S150





S152 · implies操作前

window30 first divisor:divide natural 30 by positive 3

操作後

30=10·3+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S151





S153 · implies操作前

window30 first divisor:a=3;b=30;quotient=10;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=10

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S152





S154 · implies操作前

window30 second divisor:divide natural 30 by positive 7

操作後

30=4·7+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S153





S155 · implies操作前

window30 second divisor:a=7;b=30;quotient=4;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S154





S156 · implies操作前

candidate=30;a divides=是;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S155





S157 · implies操作前

window31 first divisor:divide natural 31 by positive 3

操作後

31=10·3+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S156





S158 · implies操作前

window31 first divisor:a=3;b=31;quotient=10;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S157





S159 · implies操作前

window31 second divisor:divide natural 31 by positive 7

操作後

31=4·7+3

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S158





S160 · implies操作前

window31 second divisor:a=7;b=31;quotient=4;remainder=3

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S159





S161 · implies操作前

candidate=31;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S160





S162 · implies操作前

window32 first divisor:divide natural 32 by positive 3

操作後

32=10·3+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S161





S163 · implies操作前

window32 first divisor:a=3;b=32;quotient=10;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S162





S164 · implies操作前

window32 second divisor:divide natural 32 by positive 7

操作後

32=4·7+4

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S163





S165 · implies操作前

window32 second divisor:a=7;b=32;quotient=4;remainder=4

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S164





S166 · implies操作前

candidate=32;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S165





S167 · implies操作前

window33 first divisor:divide natural 33 by positive 3

操作後

33=11·3+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S166





S168 · implies操作前

window33 first divisor:a=3;b=33;quotient=11;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=11

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S167





S169 · implies操作前

window33 second divisor:divide natural 33 by positive 7

操作後

33=4·7+5

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S168





S170 · implies操作前

window33 second divisor:a=7;b=33;quotient=4;remainder=5

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S169





S171 · implies操作前

candidate=33;a divides=是;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S170





S172 · implies操作前

window34 first divisor:divide natural 34 by positive 3

操作後

34=11·3+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S171





S173 · implies操作前

window34 first divisor:a=3;b=34;quotient=11;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S172





S174 · implies操作前

window34 second divisor:divide natural 34 by positive 7

操作後

34=4·7+6

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S173





S175 · implies操作前

window34 second divisor:a=7;b=34;quotient=4;remainder=6

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S174





S176 · implies操作前

candidate=34;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S175





S177 · implies操作前

window35 first divisor:divide natural 35 by positive 3

操作後

35=11·3+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S176





S178 · implies操作前

window35 first divisor:a=3;b=35;quotient=11;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S177





S179 · implies操作前

window35 second divisor:divide natural 35 by positive 7

操作後

35=5·7+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S178





S180 · implies操作前

window35 second divisor:a=7;b=35;quotient=5;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=5

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S179





S181 · implies操作前

candidate=35;a divides=否;b divides=是

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S180





S182 · implies操作前

window36 first divisor:divide natural 36 by positive 3

操作後

36=12·3+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S181





S183 · implies操作前

window36 first divisor:a=3;b=36;quotient=12;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=12

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S182





S184 · implies操作前

window36 second divisor:divide natural 36 by positive 7

操作後

36=5·7+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S183





S185 · implies操作前

window36 second divisor:a=7;b=36;quotient=5;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S184





S186 · implies操作前

candidate=36;a divides=是;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S185





S187 · implies操作前

window37 first divisor:divide natural 37 by positive 3

操作後

37=12·3+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S186





S188 · implies操作前

window37 first divisor:a=3;b=37;quotient=12;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S187





S189 · implies操作前

window37 second divisor:divide natural 37 by positive 7

操作後

37=5·7+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S188





S190 · implies操作前

window37 second divisor:a=7;b=37;quotient=5;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S189





S191 · implies操作前

candidate=37;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S190





S192 · implies操作前

window38 first divisor:divide natural 38 by positive 3

操作後

38=12·3+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S191





S193 · implies操作前

window38 first divisor:a=3;b=38;quotient=12;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S192





S194 · implies操作前

window38 second divisor:divide natural 38 by positive 7

操作後

38=5·7+3

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S193





S195 · implies操作前

window38 second divisor:a=7;b=38;quotient=5;remainder=3

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S194





S196 · implies操作前

candidate=38;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S195





S197 · implies操作前

window39 first divisor:divide natural 39 by positive 3

操作後

39=13·3+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S196





S198 · implies操作前

window39 first divisor:a=3;b=39;quotient=13;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=13

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S197





S199 · implies操作前

window39 second divisor:divide natural 39 by positive 7

操作後

39=5·7+4

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S198





S200 · implies操作前

window39 second divisor:a=7;b=39;quotient=5;remainder=4

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S199





S201 · implies操作前

candidate=39;a divides=是;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S200





S202 · implies操作前

window40 first divisor:divide natural 40 by positive 3

操作後

40=13·3+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S201





S203 · implies操作前

window40 first divisor:a=3;b=40;quotient=13;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S202





S204 · implies操作前

window40 second divisor:divide natural 40 by positive 7

操作後

40=5·7+5

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S203





S205 · implies操作前

window40 second divisor:a=7;b=40;quotient=5;remainder=5

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S204





S206 · implies操作前

candidate=40;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S205





S207 · implies操作前

window41 first divisor:divide natural 41 by positive 3

操作後

41=13·3+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S206





S208 · implies操作前

window41 first divisor:a=3;b=41;quotient=13;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S207





S209 · implies操作前

window41 second divisor:divide natural 41 by positive 7

操作後

41=5·7+6

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S208





S210 · implies操作前

window41 second divisor:a=7;b=41;quotient=5;remainder=6

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S209





S211 · implies操作前

candidate=41;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S210





S212 · implies操作前

window42 first divisor:divide natural 42 by positive 3

操作後

42=14·3+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S211





S213 · implies操作前

window42 first divisor:a=3;b=42;quotient=14;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=14

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S212





S214 · implies操作前

window42 second divisor:divide natural 42 by positive 7

操作後

42=6·7+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S213





S215 · implies操作前

window42 second divisor:a=7;b=42;quotient=6;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=6

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S214





S216 · implies操作前

candidate=42;a divides=是;b divides=是

操作後

common multiple=是

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S215





S217 · implies操作前

window43 first divisor:divide natural 43 by positive 3

操作後

43=14·3+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S216





S218 · implies操作前

window43 first divisor:a=3;b=43;quotient=14;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S217





S219 · implies操作前

window43 second divisor:divide natural 43 by positive 7

操作後

43=6·7+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S218





S220 · implies操作前

window43 second divisor:a=7;b=43;quotient=6;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S219





S221 · implies操作前

candidate=43;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S220





S222 · implies操作前

window44 first divisor:divide natural 44 by positive 3

操作後

44=14·3+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S221





S223 · implies操作前

window44 first divisor:a=3;b=44;quotient=14;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S222





S224 · implies操作前

window44 second divisor:divide natural 44 by positive 7

操作後

44=6·7+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S223





S225 · implies操作前

window44 second divisor:a=7;b=44;quotient=6;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S224





S226 · implies操作前

candidate=44;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S225





S227 · implies操作前

window45 first divisor:divide natural 45 by positive 3

操作後

45=15·3+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S226





S228 · implies操作前

window45 first divisor:a=3;b=45;quotient=15;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=15

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S227





S229 · implies操作前

window45 second divisor:divide natural 45 by positive 7

操作後

45=6·7+3

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S228





S230 · implies操作前

window45 second divisor:a=7;b=45;quotient=6;remainder=3

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S229





S231 · implies操作前

candidate=45;a divides=是;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S230





S232 · implies操作前

window46 first divisor:divide natural 46 by positive 3

操作後

46=15·3+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S231





S233 · implies操作前

window46 first divisor:a=3;b=46;quotient=15;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S232





S234 · implies操作前

window46 second divisor:divide natural 46 by positive 7

操作後

46=6·7+4

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S233





S235 · implies操作前

window46 second divisor:a=7;b=46;quotient=6;remainder=4

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S234





S236 · implies操作前

candidate=46;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S235





S237 · implies操作前

window47 first divisor:divide natural 47 by positive 3

操作後

47=15·3+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S236





S238 · implies操作前

window47 first divisor:a=3;b=47;quotient=15;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S237





S239 · implies操作前

window47 second divisor:divide natural 47 by positive 7

操作後

47=6·7+5

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S238





S240 · implies操作前

window47 second divisor:a=7;b=47;quotient=6;remainder=5

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S239





S241 · implies操作前

candidate=47;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S240









## 逐步反向核對


- S241 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S240 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S239 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S238 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S237 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S236 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S235 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S234 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S233 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S232 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S231 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S230 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S229 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S228 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S227 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S226 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S225 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S224 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S223 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S222 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S221 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S220 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S219 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S218 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S217 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S216 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S215 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S214 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S213 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S212 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S211 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S210 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S209 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S208 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S207 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S206 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S205 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S204 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S203 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S202 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S201 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S200 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S199 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S198 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S197 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S196 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S195 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S194 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S193 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S192 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S191 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S190 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S189 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S188 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S187 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S186 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S185 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S184 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S183 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S182 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S181 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S180 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S179 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S178 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S177 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S176 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S175 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S174 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S173 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S172 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S171 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S170 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S169 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S168 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S167 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S166 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S165 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S164 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S163 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S162 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S161 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S160 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S159 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S158 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S157 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S156 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S155 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S154 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S153 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
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## 結論

(3, 7, 47, [0, 21, 42])

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 9f2a2f1c85b8ff23c20b21d5249897e24e5d8a50da69910e3cc7fad5212b2690
- candidate record SHA-256: 0e319bd9b201e8a481dcb3b63539b7437ae730fa00511504193f5f38944b3119
- semantic review receipt SHA-256: 00fcddb10a9fb0f56697308976a52e68e2537472bd8e68ecbe96d3c4553f4ad2
- question-first witness SHA-256: 198e04380b2d32aef2375b07ca0df1f8afa454d1184993173fad8a3c9187a3d1
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261018-r02-natural-divisibility-0068.json)