# 第 31789 題：最大公因數與互質

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0062-31789 · q-20261013-advance-20261018-r03-gcd-coprime-0014



## 原題與已知條件

自然數gcd。操作=gcd-euclid-trace；資料={"a":126,"b":77}。請依 [a,b,euclid_rows,gcd] 的欄序回答。


- G001 — 自然數gcd。操作=gcd-euclid-trace；資料={"a":126,"b":77}。請依 [a,b,euclid_rows,gcd] 的欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-gcd-coprime](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-gcd-coprime/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

source roles = [qf-ext18-gcd-euclid-trace, Nat_gcd, gcd-euclid-trace, no-form-field]

操作後

derived = [[a, b, ordered_Euclid_rows, gcd]]

條件：無

按原bank核欄位：BASE方程用form及論域，BASE事件／補集無operation，階乘無domain；ext18用local-hyphen，其他legacy用underscore。輸出型別不統一成tuple或fraction。

步驟識別與依賴規則：R62_EXACT_source_keys_domain_operation_form_AND_output_types · 依賴：G001





S002 · calculation操作前

GCD Euclid row0 ORIGINAL quotient times y := mul(1, 77)

操作後

GCD Euclid row0 ORIGINAL quotient times y = 77

條件：無

使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001





S003 · calculation操作前

GCD Euclid row0 ORIGINAL x minus qy := sub(126, 77)

操作後

GCD Euclid row0 ORIGINAL x minus qy = 49

條件：無

使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

source roles = [126, 77, 1]

操作後

derived = [77, 49, [126, 77, 49]]

條件：無

y非0才求商餘，x=qy+r且0≤r<y。d同除x,y則同除y,r，反向由x=qy+r也成立，所以共同因數集合不變；正餘數嚴格下降，循環會終止。

步驟識別與依賴規則：GCD_EUCLID_nonzero_divisor_exact_quotient_remainder_INVARIANT · 依賴：G001, S003





S005 · calculation操作前

GCD Euclid row1 ORIGINAL quotient times y := mul(1, 49)

操作後

GCD Euclid row1 ORIGINAL quotient times y = 49

條件：無

使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004





S006 · calculation操作前

GCD Euclid row1 ORIGINAL x minus qy := sub(77, 49)

操作後

GCD Euclid row1 ORIGINAL x minus qy = 28

條件：無

使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005





S007 · implies操作前

source roles = [77, 49, 1]

操作後

derived = [49, 28, [77, 49, 28]]

條件：無

y非0才求商餘，x=qy+r且0≤r<y。d同除x,y則同除y,r，反向由x=qy+r也成立，所以共同因數集合不變；正餘數嚴格下降，循環會終止。

步驟識別與依賴規則：GCD_EUCLID_nonzero_divisor_exact_quotient_remainder_INVARIANT · 依賴：G001, S006





S008 · calculation操作前

GCD Euclid row2 ORIGINAL quotient times y := mul(1, 28)

操作後

GCD Euclid row2 ORIGINAL quotient times y = 28

條件：無

使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007





S009 · calculation操作前

GCD Euclid row2 ORIGINAL x minus qy := sub(49, 28)

操作後

GCD Euclid row2 ORIGINAL x minus qy = 21

條件：無

使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008





S010 · implies操作前

source roles = [49, 28, 1]

操作後

derived = [28, 21, [49, 28, 21]]

條件：無

y非0才求商餘，x=qy+r且0≤r<y。d同除x,y則同除y,r，反向由x=qy+r也成立，所以共同因數集合不變；正餘數嚴格下降，循環會終止。

步驟識別與依賴規則：GCD_EUCLID_nonzero_divisor_exact_quotient_remainder_INVARIANT · 依賴：G001, S009





S011 · calculation操作前

GCD Euclid row3 ORIGINAL quotient times y := mul(1, 21)

操作後

GCD Euclid row3 ORIGINAL quotient times y = 21

條件：無

使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010





S012 · calculation操作前

GCD Euclid row3 ORIGINAL x minus qy := sub(28, 21)

操作後

GCD Euclid row3 ORIGINAL x minus qy = 7

條件：無

使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011





S013 · implies操作前

source roles = [28, 21, 1]

操作後

derived = [21, 7, [28, 21, 7]]

條件：無

y非0才求商餘，x=qy+r且0≤r<y。d同除x,y則同除y,r，反向由x=qy+r也成立，所以共同因數集合不變；正餘數嚴格下降，循環會終止。

步驟識別與依賴規則：GCD_EUCLID_nonzero_divisor_exact_quotient_remainder_INVARIANT · 依賴：G001, S012





S014 · calculation操作前

GCD Euclid row4 ORIGINAL quotient times y := mul(3, 7)

操作後

GCD Euclid row4 ORIGINAL quotient times y = 21

條件：無

使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013





S015 · calculation操作前

GCD Euclid row4 ORIGINAL x minus qy := sub(21, 21)

操作後

GCD Euclid row4 ORIGINAL x minus qy = 0

條件：無

使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014





S016 · implies操作前

source roles = [21, 7, 3]

操作後

derived = [21, 0, [21, 7, 0]]

條件：無

y非0才求商餘，x=qy+r且0≤r<y。d同除x,y則同除y,r，反向由x=qy+r也成立，所以共同因數集合不變；正餘數嚴格下降，循環會終止。

步驟識別與依賴規則：GCD_EUCLID_nonzero_divisor_exact_quotient_remainder_INVARIANT · 依賴：G001, S015





S017 · implies操作前

source roles = [126, 77, [[126, 77, 49], [77, 49, 28], [49, 28, 21], [28, 21, 7], [21, 7, 0]]]

操作後

derived = [7, 0]

條件：無

到第二值0時保留最後x：非零時gcd(x,0)=x，連同上面雙向共同因數不變式得到原gcd。原(0,0)採明示gcd=0慣例，不宣稱0是最大的正因數。

步驟識別與依賴規則：GCD_TERMINAL_last_x_ZEROsecond_and_explicit_gcd00_convention · 依賴：G001, S016









## 逐步反向核對


- S017 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
- S016 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
- S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row4 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
- S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row4 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
- S013 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
- S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row3 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
- S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row3 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
- S010 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
- S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row2 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
- S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row2 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
- S007 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
- S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row1 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
- S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row1 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
- S004 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
- S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row0 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
- S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row0 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
- S001 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。





## 結論

(126, 77, [[126, 77, 49], [77, 49, 28], [49, 28, 21], [28, 21, 7], [21, 7, 0]], 7)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 93d4c3a492d0ec1d10d91a949d68528080aa2aa81ccc124fe9392e2854540df4
- candidate record SHA-256: dd215e381ee7eb3e073f26269db03cf78a9e4d294f02519b0a89ed17a5e4b80d
- semantic review receipt SHA-256: 963099ffc9f754069fdce6792949a85ed350472465eaceb3038fa8011cf672bd
- question-first witness SHA-256: d7655324c5d11528e1af90b757384cebd3313e19dc5f6f5b9b8ea7624fb06f6f
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261018-r03-gcd-coprime-0014.json)