# 第 8999 題：最大公因數與互質

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R0016-08999 · q-20261013-advance-20261018-r03-gcd-coprime-0099



## 原題與已知條件

自然數gcd。操作=gcd-associative-triple；資料={"a":35,"b":64,"c":99}。請依 [a,b,c,left_gcd,right_gcd,equal] 的欄序回答。


- G001 — 自然數gcd。操作=gcd-associative-triple；資料={"a":35,"b":64,"c":99}。請依 [a,b,c,left_gcd,right_gcd,equal] 的欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-gcd-coprime](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-gcd-coprime/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

natural triple=[35, 64, 99];gcd(0,0)=0

操作後

compute both complete parenthesizations

條件：無

此題要求兩條實際Euclid路線，不只重複結合律結論；輸入可含0。

步驟識別與依賴規則：gcd_two_routes_scope · 依賴：G001





S002 · implies操作前

left inner gcd(a,b) Euclid row0:divide natural 35 by positive 64

操作後

35=0·64+35

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

phase=left inner gcd(a,b);pair=[35, 64];quotient=0;remainder=35

操作後

next pair=[64, 35];0<=remainder<divisor

條件：無

x=q*y+r表示共同因數同時整除x,y當且僅當同時整除y,r；正除數下餘數嚴格變小，因此迴圈會到第二項0。

步驟識別與依賴規則：gcd_common_divisor_invariance · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

left inner gcd(a,b) Euclid row1:divide natural 64 by positive 35

操作後

64=1·35+29

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

phase=left inner gcd(a,b);pair=[64, 35];quotient=1;remainder=29

操作後

next pair=[35, 29];0<=remainder<divisor

條件：無

x=q*y+r表示共同因數同時整除x,y當且僅當同時整除y,r；正除數下餘數嚴格變小，因此迴圈會到第二項0。

步驟識別與依賴規則：gcd_common_divisor_invariance · 依賴：G001, S004





S006 · implies操作前

left inner gcd(a,b) Euclid row2:divide natural 35 by positive 29

操作後

35=1·29+6

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S005





S007 · implies操作前

phase=left inner gcd(a,b);pair=[35, 29];quotient=1;remainder=6

操作後

next pair=[29, 6];0<=remainder<divisor

條件：無

x=q*y+r表示共同因數同時整除x,y當且僅當同時整除y,r；正除數下餘數嚴格變小，因此迴圈會到第二項0。

步驟識別與依賴規則：gcd_common_divisor_invariance · 依賴：G001, S006





S008 · implies操作前

left inner gcd(a,b) Euclid row3:divide natural 29 by positive 6

操作後

29=4·6+5

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S007





S009 · implies操作前

phase=left inner gcd(a,b);pair=[29, 6];quotient=4;remainder=5

操作後

next pair=[6, 5];0<=remainder<divisor

條件：無

x=q*y+r表示共同因數同時整除x,y當且僅當同時整除y,r；正除數下餘數嚴格變小，因此迴圈會到第二項0。

步驟識別與依賴規則：gcd_common_divisor_invariance · 依賴：G001, S008





S010 · implies操作前

left inner gcd(a,b) Euclid row4:divide natural 6 by positive 5

操作後

6=1·5+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S009





S011 · implies操作前

phase=left inner gcd(a,b);pair=[6, 5];quotient=1;remainder=1

操作後

next pair=[5, 1];0<=remainder<divisor

條件：無

x=q*y+r表示共同因數同時整除x,y當且僅當同時整除y,r；正除數下餘數嚴格變小，因此迴圈會到第二項0。

步驟識別與依賴規則：gcd_common_divisor_invariance · 依賴：G001, S010





S012 · implies操作前

left inner gcd(a,b) Euclid row5:divide natural 5 by positive 1

操作後

5=5·1+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S011





S013 · implies操作前

phase=left inner gcd(a,b);pair=[5, 1];quotient=5;remainder=0

操作後

next pair=[1, 0];0<=remainder<divisor

條件：無

x=q*y+r表示共同因數同時整除x,y當且僅當同時整除y,r；正除數下餘數嚴格變小，因此迴圈會到第二項0。

步驟識別與依賴規則：gcd_common_divisor_invariance · 依賴：G001, S012





S014 · implies操作前

phase=left inner gcd(a,b);terminal pair=[1, 0]

操作後

gcd=1

條件：無

終點gcd(x,0)=x；x=0時採gcd(0,0)=0的自然數慣例。不取模0，也不由gcd值推出兩數皆為質數。

步驟識別與依賴規則：gcd_terminal_zero_convention · 依賴：G001, S013





S015 · implies操作前

left outer gcd(ab,c) Euclid row0:divide natural 1 by positive 99

操作後

1=0·99+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S014





S016 · implies操作前

phase=left outer gcd(ab,c);pair=[1, 99];quotient=0;remainder=1

操作後

next pair=[99, 1];0<=remainder<divisor

條件：無

x=q*y+r表示共同因數同時整除x,y當且僅當同時整除y,r；正除數下餘數嚴格變小，因此迴圈會到第二項0。

步驟識別與依賴規則：gcd_common_divisor_invariance · 依賴：G001, S015





S017 · implies操作前

left outer gcd(ab,c) Euclid row1:divide natural 99 by positive 1

操作後

99=99·1+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S016





S018 · implies操作前

phase=left outer gcd(ab,c);pair=[99, 1];quotient=99;remainder=0

操作後

next pair=[1, 0];0<=remainder<divisor

條件：無

x=q*y+r表示共同因數同時整除x,y當且僅當同時整除y,r；正除數下餘數嚴格變小，因此迴圈會到第二項0。

步驟識別與依賴規則：gcd_common_divisor_invariance · 依賴：G001, S017





S019 · implies操作前

phase=left outer gcd(ab,c);terminal pair=[1, 0]

操作後

gcd=1

條件：無

終點gcd(x,0)=x；x=0時採gcd(0,0)=0的自然數慣例。不取模0，也不由gcd值推出兩數皆為質數。

步驟識別與依賴規則：gcd_terminal_zero_convention · 依賴：G001, S018





S020 · implies操作前

right inner gcd(b,c) Euclid row0:divide natural 64 by positive 99

操作後

64=0·99+64

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S019





S021 · implies操作前

phase=right inner gcd(b,c);pair=[64, 99];quotient=0;remainder=64

操作後

next pair=[99, 64];0<=remainder<divisor

條件：無

x=q*y+r表示共同因數同時整除x,y當且僅當同時整除y,r；正除數下餘數嚴格變小，因此迴圈會到第二項0。

步驟識別與依賴規則：gcd_common_divisor_invariance · 依賴：G001, S020





S022 · implies操作前

right inner gcd(b,c) Euclid row1:divide natural 99 by positive 64

操作後

99=1·64+35

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S021





S023 · implies操作前

phase=right inner gcd(b,c);pair=[99, 64];quotient=1;remainder=35

操作後

next pair=[64, 35];0<=remainder<divisor

條件：無

x=q*y+r表示共同因數同時整除x,y當且僅當同時整除y,r；正除數下餘數嚴格變小，因此迴圈會到第二項0。

步驟識別與依賴規則：gcd_common_divisor_invariance · 依賴：G001, S022





S024 · implies操作前

right inner gcd(b,c) Euclid row2:divide natural 64 by positive 35

操作後

64=1·35+29

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S023





S025 · implies操作前

phase=right inner gcd(b,c);pair=[64, 35];quotient=1;remainder=29

操作後

next pair=[35, 29];0<=remainder<divisor

條件：無

x=q*y+r表示共同因數同時整除x,y當且僅當同時整除y,r；正除數下餘數嚴格變小，因此迴圈會到第二項0。

步驟識別與依賴規則：gcd_common_divisor_invariance · 依賴：G001, S024





S026 · implies操作前

right inner gcd(b,c) Euclid row3:divide natural 35 by positive 29

操作後

35=1·29+6

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S025





S027 · implies操作前

phase=right inner gcd(b,c);pair=[35, 29];quotient=1;remainder=6

操作後

next pair=[29, 6];0<=remainder<divisor

條件：無

x=q*y+r表示共同因數同時整除x,y當且僅當同時整除y,r；正除數下餘數嚴格變小，因此迴圈會到第二項0。

步驟識別與依賴規則：gcd_common_divisor_invariance · 依賴：G001, S026





S028 · implies操作前

right inner gcd(b,c) Euclid row4:divide natural 29 by positive 6

操作後

29=4·6+5

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S027





S029 · implies操作前

phase=right inner gcd(b,c);pair=[29, 6];quotient=4;remainder=5

操作後

next pair=[6, 5];0<=remainder<divisor

條件：無

x=q*y+r表示共同因數同時整除x,y當且僅當同時整除y,r；正除數下餘數嚴格變小，因此迴圈會到第二項0。

步驟識別與依賴規則：gcd_common_divisor_invariance · 依賴：G001, S028





S030 · implies操作前

right inner gcd(b,c) Euclid row5:divide natural 6 by positive 5

操作後

6=1·5+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S029





S031 · implies操作前

phase=right inner gcd(b,c);pair=[6, 5];quotient=1;remainder=1

操作後

next pair=[5, 1];0<=remainder<divisor

條件：無

x=q*y+r表示共同因數同時整除x,y當且僅當同時整除y,r；正除數下餘數嚴格變小，因此迴圈會到第二項0。

步驟識別與依賴規則：gcd_common_divisor_invariance · 依賴：G001, S030





S032 · implies操作前

right inner gcd(b,c) Euclid row6:divide natural 5 by positive 1

操作後

5=5·1+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S031





S033 · implies操作前

phase=right inner gcd(b,c);pair=[5, 1];quotient=5;remainder=0

操作後

next pair=[1, 0];0<=remainder<divisor

條件：無

x=q*y+r表示共同因數同時整除x,y當且僅當同時整除y,r；正除數下餘數嚴格變小，因此迴圈會到第二項0。

步驟識別與依賴規則：gcd_common_divisor_invariance · 依賴：G001, S032





S034 · implies操作前

phase=right inner gcd(b,c);terminal pair=[1, 0]

操作後

gcd=1

條件：無

終點gcd(x,0)=x；x=0時採gcd(0,0)=0的自然數慣例。不取模0，也不由gcd值推出兩數皆為質數。

步驟識別與依賴規則：gcd_terminal_zero_convention · 依賴：G001, S033





S035 · implies操作前

right outer gcd(a,bc) Euclid row0:divide natural 35 by positive 1

操作後

35=35·1+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S034





S036 · implies操作前

phase=right outer gcd(a,bc);pair=[35, 1];quotient=35;remainder=0

操作後

next pair=[1, 0];0<=remainder<divisor

條件：無

x=q*y+r表示共同因數同時整除x,y當且僅當同時整除y,r；正除數下餘數嚴格變小，因此迴圈會到第二項0。

步驟識別與依賴規則：gcd_common_divisor_invariance · 依賴：G001, S035





S037 · implies操作前

phase=right outer gcd(a,bc);terminal pair=[1, 0]

操作後

gcd=1

條件：無

終點gcd(x,0)=x；x=0時採gcd(0,0)=0的自然數慣例。不取模0，也不由gcd值推出兩數皆為質數。

步驟識別與依賴規則：gcd_terminal_zero_convention · 依賴：G001, S036





S038 · implies操作前

gcd(a,b)=1;gcd(b,c)=1

操作後

left=1;right=1;equal=是

條件：無

分別拿兩個內層結果進外層，最後比較；一般理由是兩路都有同一組三數共同因數，但本題仍保留實際商餘證據。

步驟識別與依賴規則：gcd_parenthesizations_actual_comparison · 依賴：G001, S037









## 逐步反向核對


- S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

(35, 64, 99, 1, 1, 是)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: e2545c42ff7a40c476d00113027aec6f111f714f38c714d92a8bf0ecdc5226d8
- candidate record SHA-256: ace1b635bddf4b7aa16609f1a3023f5558e8a8674e108564359862f5be26ef9a
- semantic review receipt SHA-256: 00fcddb10a9fb0f56697308976a52e68e2537472bd8e68ecbe96d3c4553f4ad2
- question-first witness SHA-256: 198e04380b2d32aef2375b07ca0df1f8afa454d1184993173fad8a3c9187a3d1
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261018-r03-gcd-coprime-0099.json)