# 第 9121 題：自然數質數與因數

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0017-09121 · q-20261013-advance-20261018-r04-prime-number-0021



## 原題與已知條件

自然數質數。操作=prime-divisor-classification；資料={"p":20}。請依 [p,positive_divisors_or_all,p_at_least_2,prime] 的欄序回答。


- G001 — 自然數質數。操作=prime-divisor-classification；資料={"p":20}。請依 [p,positive_divisors_or_all,p_at_least_2,prime] 的欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-prime-number](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-prime-number/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

natural-number prime protocol;0 and1 are not prime

操作後

a failed candidate witness alone is not a primality proof

條件：無

自然數含0；質數判準須保留n≥2與完整因數界。單一因數候選失敗只否定該見證，不能直接斷言質數。

步驟識別與依賴規則：prime_complete_evidence_scope · 依賴：G001





S002 · implies操作前

positive factor pair candidate1:natural dividend=20;positive divisor=1

操作後

20=20·1+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

candidate d=1;quotient=20;remainder=0

操作後

factor pair=[1, 20]

條件：無

零餘數才把d與n/d同時加入；平方根重合時去重。任一因數對至少一端≤sqrt(n)，故配對覆蓋所有正因數。

步驟識別與依賴規則：complete_positive_factor_pair_inventory · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

positive factor pair candidate2:natural dividend=20;positive divisor=2

操作後

20=10·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

candidate d=2;quotient=10;remainder=0

操作後

factor pair=[2, 10]

條件：無

零餘數才把d與n/d同時加入；平方根重合時去重。任一因數對至少一端≤sqrt(n)，故配對覆蓋所有正因數。

步驟識別與依賴規則：complete_positive_factor_pair_inventory · 依賴：G001, S004





S006 · implies操作前

positive factor pair candidate3:natural dividend=20;positive divisor=3

操作後

20=6·3+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S005





S007 · implies操作前

candidate d=3;quotient=6;remainder=2

操作後

factor pair=none

條件：無

零餘數才把d與n/d同時加入；平方根重合時去重。任一因數對至少一端≤sqrt(n)，故配對覆蓋所有正因數。

步驟識別與依賴規則：complete_positive_factor_pair_inventory · 依賴：G001, S006





S008 · implies操作前

positive factor pair candidate4:natural dividend=20;positive divisor=4

操作後

20=5·4+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S007





S009 · implies操作前

candidate d=4;quotient=5;remainder=0

操作後

factor pair=[4, 5]

條件：無

零餘數才把d與n/d同時加入；平方根重合時去重。任一因數對至少一端≤sqrt(n)，故配對覆蓋所有正因數。

步驟識別與依賴規則：complete_positive_factor_pair_inventory · 依賴：G001, S008





S010 · implies操作前

all positive divisors=[1, 2, 4, 5, 10, 20];n=20

操作後

n>=2=是;exactly1 and n=否;prime=否

條件：無

完整正因數恰為1與n且n≥2才是質數；n=1的集合只有一個1，不把重複列出的[1,1]當兩個因數。

步驟識別與依賴規則：prime_positive_divisors_with_lower_bound · 依賴：G001, S009









## 逐步反向核對


- S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

(20, [1, 2, 4, 5, 10, 20], 是, 否)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: f4070c0533635d0975f5ecba2632b56a53dde3608457bfffa8fda80076f7550a
- candidate record SHA-256: 69dff0ee882d23f464256039f4113215d5d4da81a5106ec6c0119624ae186e8b
- semantic review receipt SHA-256: abad28564830bb9b6ef069ca5a1aa128ce7b1a67a5cb8fe6d868a06db73bcfb8
- question-first witness SHA-256: 43126988479968837abe086263dac1b24c37463ad80e00d2e280a7b8e9036a04
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261018-r04-prime-number-0021.json)