# 第 9152 題：自然數質數與因數

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R0017-09152 · q-20261013-advance-20261018-r04-prime-number-0077



## 原題與已知條件

自然數質數。操作=prime-interval-inventory；資料={"lo":5,"hi":25}。請依 [lo,hi,primes,count] 的欄序回答。


- G001 — 自然數質數。操作=prime-interval-inventory；資料={"lo":5,"hi":25}。請依 [lo,hi,primes,count] 的欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-prime-number](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-prime-number/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

natural-number prime protocol;0 and1 are not prime

操作後

a failed candidate witness alone is not a primality proof

條件：無

自然數含0；質數判準須保留n≥2與完整因數界。單一因數候選失敗只否定該見證，不能直接斷言質數。

步驟識別與依賴規則：prime_complete_evidence_scope · 依賴：G001





S002 · implies操作前

phase=interval value5;n=5

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

interval value5 trial divisor2:natural dividend=5;positive divisor=2

操作後

5=2·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

phase=interval value5;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=2

操作後

least factor at least2=5;prime=是

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

phase=interval value6;n=6

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S004





S006 · implies操作前

interval value6 trial divisor2:natural dividend=6;positive divisor=2

操作後

6=3·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S005





S007 · implies操作前

phase=interval value6;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=2

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S006





S008 · implies操作前

phase=interval value7;n=7

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S007





S009 · implies操作前

interval value7 trial divisor2:natural dividend=7;positive divisor=2

操作後

7=3·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S008





S010 · implies操作前

phase=interval value7;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=2

操作後

least factor at least2=7;prime=是

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S009





S011 · implies操作前

phase=interval value8;n=8

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S010





S012 · implies操作前

interval value8 trial divisor2:natural dividend=8;positive divisor=2

操作後

8=4·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S011





S013 · implies操作前

phase=interval value8;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=2

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S012





S014 · implies操作前

phase=interval value9;n=9

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S013





S015 · implies操作前

interval value9 trial divisor2:natural dividend=9;positive divisor=2

操作後

9=4·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S014





S016 · implies操作前

interval value9 trial divisor3:natural dividend=9;positive divisor=3

操作後

9=3·3+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S015





S017 · implies操作前

phase=interval value9;tried ascending divisors=[2, 3];sqrt floor=3

操作後

least factor at least2=3;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S016





S018 · implies操作前

phase=interval value10;n=10

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S017





S019 · implies操作前

interval value10 trial divisor2:natural dividend=10;positive divisor=2

操作後

10=5·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S018





S020 · implies操作前

phase=interval value10;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=3

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S019





S021 · implies操作前

phase=interval value11;n=11

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S020





S022 · implies操作前

interval value11 trial divisor2:natural dividend=11;positive divisor=2

操作後

11=5·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S021





S023 · implies操作前

interval value11 trial divisor3:natural dividend=11;positive divisor=3

操作後

11=3·3+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S022





S024 · implies操作前

phase=interval value11;tried ascending divisors=[2, 3];sqrt floor=3

操作後

least factor at least2=11;prime=是

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S023





S025 · implies操作前

phase=interval value12;n=12

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S024





S026 · implies操作前

interval value12 trial divisor2:natural dividend=12;positive divisor=2

操作後

12=6·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S025





S027 · implies操作前

phase=interval value12;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=3

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S026





S028 · implies操作前

phase=interval value13;n=13

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S027





S029 · implies操作前

interval value13 trial divisor2:natural dividend=13;positive divisor=2

操作後

13=6·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S028





S030 · implies操作前

interval value13 trial divisor3:natural dividend=13;positive divisor=3

操作後

13=4·3+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S029





S031 · implies操作前

phase=interval value13;tried ascending divisors=[2, 3];sqrt floor=3

操作後

least factor at least2=13;prime=是

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S030





S032 · implies操作前

phase=interval value14;n=14

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S031





S033 · implies操作前

interval value14 trial divisor2:natural dividend=14;positive divisor=2

操作後

14=7·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S032





S034 · implies操作前

phase=interval value14;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=3

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S033





S035 · implies操作前

phase=interval value15;n=15

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S034





S036 · implies操作前

interval value15 trial divisor2:natural dividend=15;positive divisor=2

操作後

15=7·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S035





S037 · implies操作前

interval value15 trial divisor3:natural dividend=15;positive divisor=3

操作後

15=5·3+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S036





S038 · implies操作前

phase=interval value15;tried ascending divisors=[2, 3];sqrt floor=3

操作後

least factor at least2=3;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S037





S039 · implies操作前

phase=interval value16;n=16

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S038





S040 · implies操作前

interval value16 trial divisor2:natural dividend=16;positive divisor=2

操作後

16=8·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S039





S041 · implies操作前

phase=interval value16;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=4

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S040





S042 · implies操作前

phase=interval value17;n=17

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S041





S043 · implies操作前

interval value17 trial divisor2:natural dividend=17;positive divisor=2

操作後

17=8·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S042





S044 · implies操作前

interval value17 trial divisor3:natural dividend=17;positive divisor=3

操作後

17=5·3+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S043





S045 · implies操作前

interval value17 trial divisor4:natural dividend=17;positive divisor=4

操作後

17=4·4+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S044





S046 · implies操作前

phase=interval value17;tried ascending divisors=[2, 3, 4];sqrt floor=4

操作後

least factor at least2=17;prime=是

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S045





S047 · implies操作前

phase=interval value18;n=18

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S046





S048 · implies操作前

interval value18 trial divisor2:natural dividend=18;positive divisor=2

操作後

18=9·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S047





S049 · implies操作前

phase=interval value18;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=4

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S048





S050 · implies操作前

phase=interval value19;n=19

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S049





S051 · implies操作前

interval value19 trial divisor2:natural dividend=19;positive divisor=2

操作後

19=9·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S050





S052 · implies操作前

interval value19 trial divisor3:natural dividend=19;positive divisor=3

操作後

19=6·3+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S051





S053 · implies操作前

interval value19 trial divisor4:natural dividend=19;positive divisor=4

操作後

19=4·4+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S052





S054 · implies操作前

phase=interval value19;tried ascending divisors=[2, 3, 4];sqrt floor=4

操作後

least factor at least2=19;prime=是

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S053





S055 · implies操作前

phase=interval value20;n=20

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S054





S056 · implies操作前

interval value20 trial divisor2:natural dividend=20;positive divisor=2

操作後

20=10·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S055





S057 · implies操作前

phase=interval value20;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=4

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S056





S058 · implies操作前

phase=interval value21;n=21

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S057





S059 · implies操作前

interval value21 trial divisor2:natural dividend=21;positive divisor=2

操作後

21=10·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S058





S060 · implies操作前

interval value21 trial divisor3:natural dividend=21;positive divisor=3

操作後

21=7·3+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S059





S061 · implies操作前

phase=interval value21;tried ascending divisors=[2, 3];sqrt floor=4

操作後

least factor at least2=3;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S060





S062 · implies操作前

phase=interval value22;n=22

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S061





S063 · implies操作前

interval value22 trial divisor2:natural dividend=22;positive divisor=2

操作後

22=11·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S062





S064 · implies操作前

phase=interval value22;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=4

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S063





S065 · implies操作前

phase=interval value23;n=23

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S064





S066 · implies操作前

interval value23 trial divisor2:natural dividend=23;positive divisor=2

操作後

23=11·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S065





S067 · implies操作前

interval value23 trial divisor3:natural dividend=23;positive divisor=3

操作後

23=7·3+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S066





S068 · implies操作前

interval value23 trial divisor4:natural dividend=23;positive divisor=4

操作後

23=5·4+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S067





S069 · implies操作前

phase=interval value23;tried ascending divisors=[2, 3, 4];sqrt floor=4

操作後

least factor at least2=23;prime=是

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S068





S070 · implies操作前

phase=interval value24;n=24

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S069





S071 · implies操作前

interval value24 trial divisor2:natural dividend=24;positive divisor=2

操作後

24=12·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S070





S072 · implies操作前

phase=interval value24;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=4

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S071





S073 · implies操作前

phase=interval value25;n=25

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S072





S074 · implies操作前

interval value25 trial divisor2:natural dividend=25;positive divisor=2

操作後

25=12·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S073





S075 · implies操作前

interval value25 trial divisor3:natural dividend=25;positive divisor=3

操作後

25=8·3+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S074





S076 · implies操作前

interval value25 trial divisor4:natural dividend=25;positive divisor=4

操作後

25=6·4+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S075





S077 · implies操作前

interval value25 trial divisor5:natural dividend=25;positive divisor=5

操作後

25=5·5+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S076





S078 · implies操作前

phase=interval value25;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5];sqrt floor=5

操作後

least factor at least2=5;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S077





S079 · implies操作前

inclusive interval=[5, 25]

操作後

all primes=[5, 7, 11, 13, 17, 19, 23];count=7

條件：無

區間兩端都核，逐一保留且只保留通過完整質數判準的數；沒有以有限列舉推論區間外的一般分布。

步驟識別與依賴規則：complete_inclusive_prime_interval · 依賴：G001, S078









## 逐步反向核對


- S079 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S078 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S077 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S076 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S075 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S074 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S073 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S072 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S071 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S070 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S069 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S068 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S067 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S066 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S065 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S064 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S063 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S062 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S061 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S060 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S059 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S058 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S057 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S056 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S055 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S053 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S051 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S050 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S049 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S046 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

(5, 25, [5, 7, 11, 13, 17, 19, 23], 7)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 47f744eb8de48e381820b9cc00c67540f00f80451d7fc23ef2b6e5b20497fc16
- candidate record SHA-256: 83262b55cabd072175f766a905efd4a43fd59871c662ec13811aa2069e414f39
- semantic review receipt SHA-256: abad28564830bb9b6ef069ca5a1aa128ce7b1a67a5cb8fe6d868a06db73bcfb8
- question-first witness SHA-256: 43126988479968837abe086263dac1b24c37463ad80e00d2e280a7b8e9036a04
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261018-r04-prime-number-0077.json)