# 第 9163 題：自然數質數與因數

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R0017-09163 · q-20261013-advance-20261018-r04-prime-number-0088



## 原題與已知條件

自然數質數。操作=prime-interval-inventory；資料={"lo":60,"hi":80}。請依 [lo,hi,primes,count] 的欄序回答。


- G001 — 自然數質數。操作=prime-interval-inventory；資料={"lo":60,"hi":80}。請依 [lo,hi,primes,count] 的欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-prime-number](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-prime-number/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

natural-number prime protocol;0 and1 are not prime

操作後

a failed candidate witness alone is not a primality proof

條件：無

自然數含0；質數判準須保留n≥2與完整因數界。單一因數候選失敗只否定該見證，不能直接斷言質數。

步驟識別與依賴規則：prime_complete_evidence_scope · 依賴：G001





S002 · implies操作前

phase=interval value60;n=60

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

interval value60 trial divisor2:natural dividend=60;positive divisor=2

操作後

60=30·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

phase=interval value60;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=7

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

phase=interval value61;n=61

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S004





S006 · implies操作前

interval value61 trial divisor2:natural dividend=61;positive divisor=2

操作後

61=30·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S005





S007 · implies操作前

interval value61 trial divisor3:natural dividend=61;positive divisor=3

操作後

61=20·3+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S006





S008 · implies操作前

interval value61 trial divisor4:natural dividend=61;positive divisor=4

操作後

61=15·4+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S007





S009 · implies操作前

interval value61 trial divisor5:natural dividend=61;positive divisor=5

操作後

61=12·5+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S008





S010 · implies操作前

interval value61 trial divisor6:natural dividend=61;positive divisor=6

操作後

61=10·6+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S009





S011 · implies操作前

interval value61 trial divisor7:natural dividend=61;positive divisor=7

操作後

61=8·7+5

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S010





S012 · implies操作前

phase=interval value61;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5, 6, 7];sqrt floor=7

操作後

least factor at least2=61;prime=是

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S011





S013 · implies操作前

phase=interval value62;n=62

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S012





S014 · implies操作前

interval value62 trial divisor2:natural dividend=62;positive divisor=2

操作後

62=31·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S013





S015 · implies操作前

phase=interval value62;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=7

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S014





S016 · implies操作前

phase=interval value63;n=63

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S015





S017 · implies操作前

interval value63 trial divisor2:natural dividend=63;positive divisor=2

操作後

63=31·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S016





S018 · implies操作前

interval value63 trial divisor3:natural dividend=63;positive divisor=3

操作後

63=21·3+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S017





S019 · implies操作前

phase=interval value63;tried ascending divisors=[2, 3];sqrt floor=7

操作後

least factor at least2=3;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S018





S020 · implies操作前

phase=interval value64;n=64

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S019





S021 · implies操作前

interval value64 trial divisor2:natural dividend=64;positive divisor=2

操作後

64=32·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S020





S022 · implies操作前

phase=interval value64;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=8

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S021





S023 · implies操作前

phase=interval value65;n=65

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S022





S024 · implies操作前

interval value65 trial divisor2:natural dividend=65;positive divisor=2

操作後

65=32·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S023





S025 · implies操作前

interval value65 trial divisor3:natural dividend=65;positive divisor=3

操作後

65=21·3+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S024





S026 · implies操作前

interval value65 trial divisor4:natural dividend=65;positive divisor=4

操作後

65=16·4+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S025





S027 · implies操作前

interval value65 trial divisor5:natural dividend=65;positive divisor=5

操作後

65=13·5+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S026





S028 · implies操作前

phase=interval value65;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5];sqrt floor=8

操作後

least factor at least2=5;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S027





S029 · implies操作前

phase=interval value66;n=66

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S028





S030 · implies操作前

interval value66 trial divisor2:natural dividend=66;positive divisor=2

操作後

66=33·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S029





S031 · implies操作前

phase=interval value66;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=8

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S030





S032 · implies操作前

phase=interval value67;n=67

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S031





S033 · implies操作前

interval value67 trial divisor2:natural dividend=67;positive divisor=2

操作後

67=33·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S032





S034 · implies操作前

interval value67 trial divisor3:natural dividend=67;positive divisor=3

操作後

67=22·3+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S033





S035 · implies操作前

interval value67 trial divisor4:natural dividend=67;positive divisor=4

操作後

67=16·4+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S034





S036 · implies操作前

interval value67 trial divisor5:natural dividend=67;positive divisor=5

操作後

67=13·5+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S035





S037 · implies操作前

interval value67 trial divisor6:natural dividend=67;positive divisor=6

操作後

67=11·6+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S036





S038 · implies操作前

interval value67 trial divisor7:natural dividend=67;positive divisor=7

操作後

67=9·7+4

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S037





S039 · implies操作前

interval value67 trial divisor8:natural dividend=67;positive divisor=8

操作後

67=8·8+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S038





S040 · implies操作前

phase=interval value67;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8];sqrt floor=8

操作後

least factor at least2=67;prime=是

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S039





S041 · implies操作前

phase=interval value68;n=68

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S040





S042 · implies操作前

interval value68 trial divisor2:natural dividend=68;positive divisor=2

操作後

68=34·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S041





S043 · implies操作前

phase=interval value68;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=8

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S042





S044 · implies操作前

phase=interval value69;n=69

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S043





S045 · implies操作前

interval value69 trial divisor2:natural dividend=69;positive divisor=2

操作後

69=34·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S044





S046 · implies操作前

interval value69 trial divisor3:natural dividend=69;positive divisor=3

操作後

69=23·3+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S045





S047 · implies操作前

phase=interval value69;tried ascending divisors=[2, 3];sqrt floor=8

操作後

least factor at least2=3;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S046





S048 · implies操作前

phase=interval value70;n=70

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S047





S049 · implies操作前

interval value70 trial divisor2:natural dividend=70;positive divisor=2

操作後

70=35·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S048





S050 · implies操作前

phase=interval value70;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=8

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S049





S051 · implies操作前

phase=interval value71;n=71

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S050





S052 · implies操作前

interval value71 trial divisor2:natural dividend=71;positive divisor=2

操作後

71=35·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S051





S053 · implies操作前

interval value71 trial divisor3:natural dividend=71;positive divisor=3

操作後

71=23·3+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S052





S054 · implies操作前

interval value71 trial divisor4:natural dividend=71;positive divisor=4

操作後

71=17·4+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S053





S055 · implies操作前

interval value71 trial divisor5:natural dividend=71;positive divisor=5

操作後

71=14·5+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S054





S056 · implies操作前

interval value71 trial divisor6:natural dividend=71;positive divisor=6

操作後

71=11·6+5

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S055





S057 · implies操作前

interval value71 trial divisor7:natural dividend=71;positive divisor=7

操作後

71=10·7+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S056





S058 · implies操作前

interval value71 trial divisor8:natural dividend=71;positive divisor=8

操作後

71=8·8+7

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S057





S059 · implies操作前

phase=interval value71;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8];sqrt floor=8

操作後

least factor at least2=71;prime=是

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S058





S060 · implies操作前

phase=interval value72;n=72

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S059





S061 · implies操作前

interval value72 trial divisor2:natural dividend=72;positive divisor=2

操作後

72=36·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S060





S062 · implies操作前

phase=interval value72;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=8

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S061





S063 · implies操作前

phase=interval value73;n=73

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S062





S064 · implies操作前

interval value73 trial divisor2:natural dividend=73;positive divisor=2

操作後

73=36·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S063





S065 · implies操作前

interval value73 trial divisor3:natural dividend=73;positive divisor=3

操作後

73=24·3+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S064





S066 · implies操作前

interval value73 trial divisor4:natural dividend=73;positive divisor=4

操作後

73=18·4+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S065





S067 · implies操作前

interval value73 trial divisor5:natural dividend=73;positive divisor=5

操作後

73=14·5+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S066





S068 · implies操作前

interval value73 trial divisor6:natural dividend=73;positive divisor=6

操作後

73=12·6+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S067





S069 · implies操作前

interval value73 trial divisor7:natural dividend=73;positive divisor=7

操作後

73=10·7+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S068





S070 · implies操作前

interval value73 trial divisor8:natural dividend=73;positive divisor=8

操作後

73=9·8+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S069





S071 · implies操作前

phase=interval value73;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8];sqrt floor=8

操作後

least factor at least2=73;prime=是

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S070





S072 · implies操作前

phase=interval value74;n=74

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S071





S073 · implies操作前

interval value74 trial divisor2:natural dividend=74;positive divisor=2

操作後

74=37·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S072





S074 · implies操作前

phase=interval value74;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=8

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S073





S075 · implies操作前

phase=interval value75;n=75

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S074





S076 · implies操作前

interval value75 trial divisor2:natural dividend=75;positive divisor=2

操作後

75=37·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S075





S077 · implies操作前

interval value75 trial divisor3:natural dividend=75;positive divisor=3

操作後

75=25·3+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S076





S078 · implies操作前

phase=interval value75;tried ascending divisors=[2, 3];sqrt floor=8

操作後

least factor at least2=3;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S077





S079 · implies操作前

phase=interval value76;n=76

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S078





S080 · implies操作前

interval value76 trial divisor2:natural dividend=76;positive divisor=2

操作後

76=38·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S079





S081 · implies操作前

phase=interval value76;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=8

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S080





S082 · implies操作前

phase=interval value77;n=77

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S081





S083 · implies操作前

interval value77 trial divisor2:natural dividend=77;positive divisor=2

操作後

77=38·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S082





S084 · implies操作前

interval value77 trial divisor3:natural dividend=77;positive divisor=3

操作後

77=25·3+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S083





S085 · implies操作前

interval value77 trial divisor4:natural dividend=77;positive divisor=4

操作後

77=19·4+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S084





S086 · implies操作前

interval value77 trial divisor5:natural dividend=77;positive divisor=5

操作後

77=15·5+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S085





S087 · implies操作前

interval value77 trial divisor6:natural dividend=77;positive divisor=6

操作後

77=12·6+5

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S086





S088 · implies操作前

interval value77 trial divisor7:natural dividend=77;positive divisor=7

操作後

77=11·7+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S087





S089 · implies操作前

phase=interval value77;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5, 6, 7];sqrt floor=8

操作後

least factor at least2=7;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S088





S090 · implies操作前

phase=interval value78;n=78

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S089





S091 · implies操作前

interval value78 trial divisor2:natural dividend=78;positive divisor=2

操作後

78=39·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S090





S092 · implies操作前

phase=interval value78;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=8

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S091





S093 · implies操作前

phase=interval value79;n=79

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S092





S094 · implies操作前

interval value79 trial divisor2:natural dividend=79;positive divisor=2

操作後

79=39·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S093





S095 · implies操作前

interval value79 trial divisor3:natural dividend=79;positive divisor=3

操作後

79=26·3+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S094





S096 · implies操作前

interval value79 trial divisor4:natural dividend=79;positive divisor=4

操作後

79=19·4+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S095





S097 · implies操作前

interval value79 trial divisor5:natural dividend=79;positive divisor=5

操作後

79=15·5+4

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S096





S098 · implies操作前

interval value79 trial divisor6:natural dividend=79;positive divisor=6

操作後

79=13·6+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S097





S099 · implies操作前

interval value79 trial divisor7:natural dividend=79;positive divisor=7

操作後

79=11·7+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S098





S100 · implies操作前

interval value79 trial divisor8:natural dividend=79;positive divisor=8

操作後

79=9·8+7

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S099





S101 · implies操作前

phase=interval value79;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8];sqrt floor=8

操作後

least factor at least2=79;prime=是

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S100





S102 · implies操作前

phase=interval value80;n=80

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S101





S103 · implies操作前

interval value80 trial divisor2:natural dividend=80;positive divisor=2

操作後

80=40·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S102





S104 · implies操作前

phase=interval value80;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=8

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S103





S105 · implies操作前

inclusive interval=[60, 80]

操作後

all primes=[61, 67, 71, 73, 79];count=5

條件：無

區間兩端都核，逐一保留且只保留通過完整質數判準的數；沒有以有限列舉推論區間外的一般分布。

步驟識別與依賴規則：complete_inclusive_prime_interval · 依賴：G001, S104









## 逐步反向核對


- S105 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S104 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S103 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S102 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S101 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S100 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S099 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S098 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S097 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S096 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S095 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S094 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S093 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S092 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S091 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S090 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S089 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S088 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S087 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S086 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S085 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S084 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S083 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S082 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S081 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S080 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S079 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S078 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S077 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S076 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S075 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S074 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S073 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S072 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S071 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S070 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S069 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S068 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S067 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S066 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S065 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S064 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S063 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S062 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S061 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S060 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S059 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S058 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S057 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S056 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S055 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S053 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S051 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S050 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S049 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S046 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

(60, 80, [61, 67, 71, 73, 79], 5)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: e7f423eaea0b406bba8f8efda7a9088024223370364c2538bbea3da35c5c573a
- candidate record SHA-256: c795922eaeebb51653e468bce9b2aea206cc800121827fd0c5f0de2f8cb12e5f
- semantic review receipt SHA-256: abad28564830bb9b6ef069ca5a1aa128ce7b1a67a5cb8fe6d868a06db73bcfb8
- question-first witness SHA-256: 43126988479968837abe086263dac1b24c37463ad80e00d2e280a7b8e9036a04
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261018-r04-prime-number-0088.json)