# 第 9174 題：自然數質數與因數

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R0017-09174 · q-20261013-advance-20261018-r04-prime-number-0099



## 原題與已知條件

自然數質數。操作=prime-interval-inventory；資料={"lo":115,"hi":135}。請依 [lo,hi,primes,count] 的欄序回答。


- G001 — 自然數質數。操作=prime-interval-inventory；資料={"lo":115,"hi":135}。請依 [lo,hi,primes,count] 的欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-prime-number](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-prime-number/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

natural-number prime protocol;0 and1 are not prime

操作後

a failed candidate witness alone is not a primality proof

條件：無

自然數含0；質數判準須保留n≥2與完整因數界。單一因數候選失敗只否定該見證，不能直接斷言質數。

步驟識別與依賴規則：prime_complete_evidence_scope · 依賴：G001





S002 · implies操作前

phase=interval value115;n=115

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

interval value115 trial divisor2:natural dividend=115;positive divisor=2

操作後

115=57·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

interval value115 trial divisor3:natural dividend=115;positive divisor=3

操作後

115=38·3+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

interval value115 trial divisor4:natural dividend=115;positive divisor=4

操作後

115=28·4+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S004





S006 · implies操作前

interval value115 trial divisor5:natural dividend=115;positive divisor=5

操作後

115=23·5+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S005





S007 · implies操作前

phase=interval value115;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5];sqrt floor=10

操作後

least factor at least2=5;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S006





S008 · implies操作前

phase=interval value116;n=116

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S007





S009 · implies操作前

interval value116 trial divisor2:natural dividend=116;positive divisor=2

操作後

116=58·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S008





S010 · implies操作前

phase=interval value116;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=10

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S009





S011 · implies操作前

phase=interval value117;n=117

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S010





S012 · implies操作前

interval value117 trial divisor2:natural dividend=117;positive divisor=2

操作後

117=58·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S011





S013 · implies操作前

interval value117 trial divisor3:natural dividend=117;positive divisor=3

操作後

117=39·3+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S012





S014 · implies操作前

phase=interval value117;tried ascending divisors=[2, 3];sqrt floor=10

操作後

least factor at least2=3;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S013





S015 · implies操作前

phase=interval value118;n=118

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S014





S016 · implies操作前

interval value118 trial divisor2:natural dividend=118;positive divisor=2

操作後

118=59·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S015





S017 · implies操作前

phase=interval value118;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=10

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S016





S018 · implies操作前

phase=interval value119;n=119

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S017





S019 · implies操作前

interval value119 trial divisor2:natural dividend=119;positive divisor=2

操作後

119=59·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S018





S020 · implies操作前

interval value119 trial divisor3:natural dividend=119;positive divisor=3

操作後

119=39·3+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S019





S021 · implies操作前

interval value119 trial divisor4:natural dividend=119;positive divisor=4

操作後

119=29·4+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S020





S022 · implies操作前

interval value119 trial divisor5:natural dividend=119;positive divisor=5

操作後

119=23·5+4

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S021





S023 · implies操作前

interval value119 trial divisor6:natural dividend=119;positive divisor=6

操作後

119=19·6+5

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S022





S024 · implies操作前

interval value119 trial divisor7:natural dividend=119;positive divisor=7

操作後

119=17·7+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S023





S025 · implies操作前

phase=interval value119;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5, 6, 7];sqrt floor=10

操作後

least factor at least2=7;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S024





S026 · implies操作前

phase=interval value120;n=120

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S025





S027 · implies操作前

interval value120 trial divisor2:natural dividend=120;positive divisor=2

操作後

120=60·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S026





S028 · implies操作前

phase=interval value120;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=10

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S027





S029 · implies操作前

phase=interval value121;n=121

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S028





S030 · implies操作前

interval value121 trial divisor2:natural dividend=121;positive divisor=2

操作後

121=60·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S029





S031 · implies操作前

interval value121 trial divisor3:natural dividend=121;positive divisor=3

操作後

121=40·3+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S030





S032 · implies操作前

interval value121 trial divisor4:natural dividend=121;positive divisor=4

操作後

121=30·4+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S031





S033 · implies操作前

interval value121 trial divisor5:natural dividend=121;positive divisor=5

操作後

121=24·5+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S032





S034 · implies操作前

interval value121 trial divisor6:natural dividend=121;positive divisor=6

操作後

121=20·6+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S033





S035 · implies操作前

interval value121 trial divisor7:natural dividend=121;positive divisor=7

操作後

121=17·7+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S034





S036 · implies操作前

interval value121 trial divisor8:natural dividend=121;positive divisor=8

操作後

121=15·8+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S035





S037 · implies操作前

interval value121 trial divisor9:natural dividend=121;positive divisor=9

操作後

121=13·9+4

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S036





S038 · implies操作前

interval value121 trial divisor10:natural dividend=121;positive divisor=10

操作後

121=12·10+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S037





S039 · implies操作前

interval value121 trial divisor11:natural dividend=121;positive divisor=11

操作後

121=11·11+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S038





S040 · implies操作前

phase=interval value121;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11];sqrt floor=11

操作後

least factor at least2=11;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S039





S041 · implies操作前

phase=interval value122;n=122

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S040





S042 · implies操作前

interval value122 trial divisor2:natural dividend=122;positive divisor=2

操作後

122=61·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S041





S043 · implies操作前

phase=interval value122;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=11

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S042





S044 · implies操作前

phase=interval value123;n=123

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S043





S045 · implies操作前

interval value123 trial divisor2:natural dividend=123;positive divisor=2

操作後

123=61·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S044





S046 · implies操作前

interval value123 trial divisor3:natural dividend=123;positive divisor=3

操作後

123=41·3+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S045





S047 · implies操作前

phase=interval value123;tried ascending divisors=[2, 3];sqrt floor=11

操作後

least factor at least2=3;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S046





S048 · implies操作前

phase=interval value124;n=124

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S047





S049 · implies操作前

interval value124 trial divisor2:natural dividend=124;positive divisor=2

操作後

124=62·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S048





S050 · implies操作前

phase=interval value124;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=11

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S049





S051 · implies操作前

phase=interval value125;n=125

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S050





S052 · implies操作前

interval value125 trial divisor2:natural dividend=125;positive divisor=2

操作後

125=62·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S051





S053 · implies操作前

interval value125 trial divisor3:natural dividend=125;positive divisor=3

操作後

125=41·3+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S052





S054 · implies操作前

interval value125 trial divisor4:natural dividend=125;positive divisor=4

操作後

125=31·4+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S053





S055 · implies操作前

interval value125 trial divisor5:natural dividend=125;positive divisor=5

操作後

125=25·5+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S054





S056 · implies操作前

phase=interval value125;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5];sqrt floor=11

操作後

least factor at least2=5;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S055





S057 · implies操作前

phase=interval value126;n=126

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S056





S058 · implies操作前

interval value126 trial divisor2:natural dividend=126;positive divisor=2

操作後

126=63·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S057





S059 · implies操作前

phase=interval value126;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=11

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S058





S060 · implies操作前

phase=interval value127;n=127

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S059





S061 · implies操作前

interval value127 trial divisor2:natural dividend=127;positive divisor=2

操作後

127=63·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S060





S062 · implies操作前

interval value127 trial divisor3:natural dividend=127;positive divisor=3

操作後

127=42·3+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S061





S063 · implies操作前

interval value127 trial divisor4:natural dividend=127;positive divisor=4

操作後

127=31·4+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S062





S064 · implies操作前

interval value127 trial divisor5:natural dividend=127;positive divisor=5

操作後

127=25·5+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S063





S065 · implies操作前

interval value127 trial divisor6:natural dividend=127;positive divisor=6

操作後

127=21·6+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S064





S066 · implies操作前

interval value127 trial divisor7:natural dividend=127;positive divisor=7

操作後

127=18·7+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S065





S067 · implies操作前

interval value127 trial divisor8:natural dividend=127;positive divisor=8

操作後

127=15·8+7

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S066





S068 · implies操作前

interval value127 trial divisor9:natural dividend=127;positive divisor=9

操作後

127=14·9+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S067





S069 · implies操作前

interval value127 trial divisor10:natural dividend=127;positive divisor=10

操作後

127=12·10+7

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S068





S070 · implies操作前

interval value127 trial divisor11:natural dividend=127;positive divisor=11

操作後

127=11·11+6

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S069





S071 · implies操作前

phase=interval value127;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11];sqrt floor=11

操作後

least factor at least2=127;prime=是

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S070





S072 · implies操作前

phase=interval value128;n=128

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S071





S073 · implies操作前

interval value128 trial divisor2:natural dividend=128;positive divisor=2

操作後

128=64·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S072





S074 · implies操作前

phase=interval value128;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=11

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S073





S075 · implies操作前

phase=interval value129;n=129

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S074





S076 · implies操作前

interval value129 trial divisor2:natural dividend=129;positive divisor=2

操作後

129=64·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S075





S077 · implies操作前

interval value129 trial divisor3:natural dividend=129;positive divisor=3

操作後

129=43·3+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S076





S078 · implies操作前

phase=interval value129;tried ascending divisors=[2, 3];sqrt floor=11

操作後

least factor at least2=3;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S077





S079 · implies操作前

phase=interval value130;n=130

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S078





S080 · implies操作前

interval value130 trial divisor2:natural dividend=130;positive divisor=2

操作後

130=65·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S079





S081 · implies操作前

phase=interval value130;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=11

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S080





S082 · implies操作前

phase=interval value131;n=131

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S081





S083 · implies操作前

interval value131 trial divisor2:natural dividend=131;positive divisor=2

操作後

131=65·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S082





S084 · implies操作前

interval value131 trial divisor3:natural dividend=131;positive divisor=3

操作後

131=43·3+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S083





S085 · implies操作前

interval value131 trial divisor4:natural dividend=131;positive divisor=4

操作後

131=32·4+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S084





S086 · implies操作前

interval value131 trial divisor5:natural dividend=131;positive divisor=5

操作後

131=26·5+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S085





S087 · implies操作前

interval value131 trial divisor6:natural dividend=131;positive divisor=6

操作後

131=21·6+5

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S086





S088 · implies操作前

interval value131 trial divisor7:natural dividend=131;positive divisor=7

操作後

131=18·7+5

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S087





S089 · implies操作前

interval value131 trial divisor8:natural dividend=131;positive divisor=8

操作後

131=16·8+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S088





S090 · implies操作前

interval value131 trial divisor9:natural dividend=131;positive divisor=9

操作後

131=14·9+5

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S089





S091 · implies操作前

interval value131 trial divisor10:natural dividend=131;positive divisor=10

操作後

131=13·10+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S090





S092 · implies操作前

interval value131 trial divisor11:natural dividend=131;positive divisor=11

操作後

131=11·11+10

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S091





S093 · implies操作前

phase=interval value131;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11];sqrt floor=11

操作後

least factor at least2=131;prime=是

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S092





S094 · implies操作前

phase=interval value132;n=132

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S093





S095 · implies操作前

interval value132 trial divisor2:natural dividend=132;positive divisor=2

操作後

132=66·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S094





S096 · implies操作前

phase=interval value132;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=11

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S095





S097 · implies操作前

phase=interval value133;n=133

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S096





S098 · implies操作前

interval value133 trial divisor2:natural dividend=133;positive divisor=2

操作後

133=66·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S097





S099 · implies操作前

interval value133 trial divisor3:natural dividend=133;positive divisor=3

操作後

133=44·3+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S098





S100 · implies操作前

interval value133 trial divisor4:natural dividend=133;positive divisor=4

操作後

133=33·4+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S099





S101 · implies操作前

interval value133 trial divisor5:natural dividend=133;positive divisor=5

操作後

133=26·5+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S100





S102 · implies操作前

interval value133 trial divisor6:natural dividend=133;positive divisor=6

操作後

133=22·6+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S101





S103 · implies操作前

interval value133 trial divisor7:natural dividend=133;positive divisor=7

操作後

133=19·7+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S102





S104 · implies操作前

phase=interval value133;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5, 6, 7];sqrt floor=11

操作後

least factor at least2=7;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S103





S105 · implies操作前

phase=interval value134;n=134

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S104





S106 · implies操作前

interval value134 trial divisor2:natural dividend=134;positive divisor=2

操作後

134=67·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S105





S107 · implies操作前

phase=interval value134;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=11

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S106





S108 · implies操作前

phase=interval value135;n=135

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S107





S109 · implies操作前

interval value135 trial divisor2:natural dividend=135;positive divisor=2

操作後

135=67·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S108





S110 · implies操作前

interval value135 trial divisor3:natural dividend=135;positive divisor=3

操作後

135=45·3+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S109





S111 · implies操作前

phase=interval value135;tried ascending divisors=[2, 3];sqrt floor=11

操作後

least factor at least2=3;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S110





S112 · implies操作前

inclusive interval=[115, 135]

操作後

all primes=[127, 131];count=2

條件：無

區間兩端都核，逐一保留且只保留通過完整質數判準的數；沒有以有限列舉推論區間外的一般分布。

步驟識別與依賴規則：complete_inclusive_prime_interval · 依賴：G001, S111









## 逐步反向核對


- S112 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S111 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S110 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S109 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S108 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S107 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S106 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S105 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S104 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S103 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S102 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S101 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S100 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S099 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S098 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S097 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S096 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S095 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S094 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S093 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S092 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S091 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S090 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S089 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S088 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S087 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S086 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S085 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S084 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S083 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S082 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S081 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S080 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S079 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S078 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S077 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S076 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S075 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S074 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S073 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S072 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S071 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S070 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S069 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S068 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S067 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S066 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S065 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S064 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S063 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S062 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S061 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S060 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S059 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S058 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S057 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S056 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S055 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S053 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S051 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S050 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S049 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S046 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
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- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

(115, 135, [127, 131], 2)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: feccdde06a115f32273e2fd635e2a98fad7ef645cc4e700086979c38afe9cddc
- candidate record SHA-256: 82b400a79dfd3d89016e25190a3e5338aecc1418d09db78aaf5decfa2febca9c
- semantic review receipt SHA-256: abad28564830bb9b6ef069ca5a1aa128ce7b1a67a5cb8fe6d868a06db73bcfb8
- question-first witness SHA-256: 43126988479968837abe086263dac1b24c37463ad80e00d2e280a7b8e9036a04
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261018-r04-prime-number-0099.json)