# 第 9036 題：正模數同餘

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0017-09036 · q-20261013-advance-20261018-r05-modular-congruence-0036



## 原題與已知條件

固定模數。操作=modeq-equivalence-class；資料={"n":3,"a":31,"bound":35}。請依 [n,a,bound,remainder,class_members] 的欄序回答。


- G001 — 固定模數。操作=modeq-equivalence-class；資料={"n":3,"a":31,"bound":35}。請依 [n,a,bound,remainder,class_members] 的欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-modular-congruence](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-modular-congruence/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

fixed natural modulus candidate=3

操作後

positive modulus=是

條件：無

同餘在同一正模數下以餘數比較，不等於數值相等。乘法保持同餘不表示可無條件取消共同因子。

步驟識別與依賴規則：fixed_positive_modulus_scope · 依賴：G001





S002 · implies操作前

representative remainder:natural dividend=31;positive divisor=3

操作後

31=10·3+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S001





S003 · calculation操作前

window bound minus residue := sub(35, 1)

操作後

window bound minus residue = 34

條件：無

依本步原始操作數及指定次序精確計算，不用近似值或替換候選。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

last progression index:natural dividend=34;positive divisor=3

操作後

34=11·3+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

residue=1;modulus=3;0<=k<=11

操作後

all class members=[1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34]

條件：無

Euclid唯一性給x≡a當且僅當x=r+k*n；自然x且0≤r<n強迫k≥0，上界給k≤floor((bound−r)/n)。完整保留兩端，不只找幾個樣本。

步驟識別與依賴規則：complete_residue_progression · 依賴：G001, S004









## 逐步反向核對


- S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 window bound minus residue，不以小數近似替代。
- S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

(3, 31, 35, 1, [1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34])

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: d3a195c8daaefe4a590c86e178443c257a95839aa1fae7aa8751eddecfa2942c
- candidate record SHA-256: 11159cb641a40cc45124e1e594fd84facc986bdc884927b58122f9041be0e3f9
- semantic review receipt SHA-256: abad28564830bb9b6ef069ca5a1aa128ce7b1a67a5cb8fe6d868a06db73bcfb8
- question-first witness SHA-256: 43126988479968837abe086263dac1b24c37463ad80e00d2e280a7b8e9036a04
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261018-r05-modular-congruence-0036.json)