# 第 9009 題：正模數同餘

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0017-09009 · q-20261013-advance-20261018-r05-modular-congruence-0059



## 原題與已知條件

固定模數。操作=modeq-add-preservation；資料={"n":10,"a":9,"b":39,"c":19,"d":29}。請依 [n,[a,b],[c,d],premises,[result_remainders],conclusion,implication] 的欄序回答。


- G001 — 固定模數。操作=modeq-add-preservation；資料={"n":10,"a":9,"b":39,"c":19,"d":29}。請依 [n,[a,b],[c,d],premises,[result_remainders],conclusion,implication] 的欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-modular-congruence](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-modular-congruence/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

fixed natural modulus candidate=10

操作後

positive modulus=是

條件：無

同餘在同一正模數下以餘數比較，不等於數值相等。乘法保持同餘不表示可無條件取消共同因子。

步驟識別與依賴規則：fixed_positive_modulus_scope · 依賴：G001





S002 · implies操作前

a remainder:natural dividend=9;positive divisor=10

操作後

9=0·10+9

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

b remainder:natural dividend=39;positive divisor=10

操作後

39=3·10+9

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

c remainder:natural dividend=19;positive divisor=10

操作後

19=1·10+9

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

d remainder:natural dividend=29;positive divisor=10

操作後

29=2·10+9

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S004





S006 · calculation操作前

combined left value := sum(9, 19)

操作後

combined left value = 28

條件：無

依本步原始操作數及指定次序精確計算，不用近似值或替換候選。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005





S007 · calculation操作前

combined right value := sum(39, 29)

操作後

combined right value = 68

條件：無

依本步原始操作數及指定次序精確計算，不用近似值或替換候選。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006





S008 · implies操作前

combined left remainder:natural dividend=28;positive divisor=10

操作後

28=2·10+8

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S007





S009 · implies操作前

combined right remainder:natural dividend=68;positive divisor=10

操作後

68=6·10+8

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S008





S010 · implies操作前

a,b remainders=[9, 9];c,d remainders=[9, 9]

操作後

both premises=是;conclusion=是

條件：無

先各核兩個前提，再獨立算和或積的兩個餘數；前提不成立不表示結論一定不成立。

步驟識別與依賴規則：modular_premises_and_conclusion_separate · 依賴：G001, S009





S011 · calculation操作前

first quotient difference := sub(0, 3)

操作後

first quotient difference = -3

條件：無

依本步原始操作數及指定次序精確計算，不用近似值或替換候選。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010





S012 · calculation操作前

second quotient difference := sub(1, 2)

操作後

second quotient difference = -1

條件：無

依本步原始操作數及指定次序精確計算，不用近似值或替換候選。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011





S013 · calculation操作前

sum difference multiplier := sum(-3, -1)

操作後

sum difference multiplier = -4

條件：無

依本步原始操作數及指定次序精確計算，不用近似值或替換候選。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012





S014 · calculation操作前

combined difference := sub(28, 68)

操作後

combined difference = -40

條件：無

依本步原始操作數及指定次序精確計算，不用近似值或替換候選。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013





S015 · calculation操作前

modulus times difference multiplier := mul(10, -4)

操作後

modulus times difference multiplier = -40

條件：無

依本步原始操作數及指定次序精確計算，不用近似值或替換候選。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014





S016 · implies操作前

combined difference=-40;integer multiplier=-4;modulus=10

操作後

difference=n*multiplier=-40

條件：無

相同餘數相減後，a−b=n(qa−qb)、c−d=n(qc−qd)。加法直接相加；乘法用ac−bd=a(c−d)+d(a−b)。乘數可為負整數，不需取消共同因子。

步驟識別與依賴規則：applicable_modular_preservation_witness · 依賴：G001, S015





S017 · implies操作前

premises=是;conclusion=是

操作後

material implication=是

條件：無

前提為假時材料蘊涵為真只是其真值定義，不是取得可套用的保持定理前提。

步驟識別與依賴規則：modular_implication_not_applicable_premise · 依賴：G001, S016









## 逐步反向核對


- S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 modulus times difference multiplier，不以小數近似替代。
- S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined difference，不以小數近似替代。
- S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 sum difference multiplier，不以小數近似替代。
- S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second quotient difference，不以小數近似替代。
- S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first quotient difference，不以小數近似替代。
- S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined right value，不以小數近似替代。
- S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined left value，不以小數近似替代。
- S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

(10, [9, 39], [19, 29], 是, [8, 8], 是, 是)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: d98128df63cebe1b083dd026fce00017890681a0928f8c1bfd818cd2e1bf2205
- candidate record SHA-256: 23ffc1766ab65a863f119dac1ac6ba2376c78376055cbf540ed9f3c0b12962ca
- semantic review receipt SHA-256: abad28564830bb9b6ef069ca5a1aa128ce7b1a67a5cb8fe6d868a06db73bcfb8
- question-first witness SHA-256: 43126988479968837abe086263dac1b24c37463ad80e00d2e280a7b8e9036a04
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261018-r05-modular-congruence-0059.json)