# 第 9842 題：開閉集有限核對

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0018-09842 · q-20261013-advance-20261019-r01-open-closed-set-0042



## 原題與已知條件

完整有限拓撲。操作=openclosed-complement-duality；資料={"n":4,"opens":[[],[0],[0,2],[0,2,3],[0,1,2,3]],"subset":[]}。請依 [n,subset,complement,open,complement_open,closed,duality] 欄序回答。


- G001 — 完整有限拓撲。操作=openclosed-complement-duality；資料={"n":4,"opens":[[],[0],[0,2],[0,2,3],[0,1,2,3]],"subset":[]}。請依 [n,subset,complement,open,complement_open,closed,duality] 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-open-closed-set](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-open-closed-set/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

n=4;raw open family=[[], [0], [0, 2], [0, 2, 3], [0, 1, 2, 3]]

操作後

universe=[0, 1, 2, 3];normalized opens=[[], [0], [0, 2], [0, 2, 3], [0, 1, 2, 3]];empty=是;full=是;union closed=是;intersection closed=是

條件：無

子集與族去重後按mask排序，完整核空集、全集及二元聯交閉合。有限底集合使任意聯集只需有限不同成員；本題要求真拓撲，非法資料不拿來算後續性質。

步驟識別與依賴規則：given_complete_finite_topology_guard · 依賴：G001





S002 · implies操作前

universe=[0, 1, 2, 3];candidate=[]

操作後

relative complement=[0, 1, 2, 3];candidate open=是;complement open=是

條件：無

候選合型後在固定全集取補；開性與補集開性獨立核，不用not-open充作closed。

步驟識別與依賴規則：relative_complement_open_test · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

complement open=是;candidate closed=是

操作後

duality equality=是

條件：無

closed定義就是同一補集為開，這個相等不是把closed等同否定open。

步驟識別與依賴規則：closed_definition_complement_duality · 依賴：G001, S002









## 逐步反向核對


- S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

(4, [], [0, 1, 2, 3], 是, 是, 是, 是)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: f7b4a1bfa9bcea5df6a488db24bfe2ea947418a9ccac7b289019e884ea6b1e55
- candidate record SHA-256: 37c4670f4b9a3f6216b27613ac44708a0c6220aecbf57aab93878bddad471075
- semantic review receipt SHA-256: bd35da62087a15d6b89b45585dc46e89b9efbe097cba7b3c707b5030496f013c
- question-first witness SHA-256: fab45a10d8ac95c7d61d32e47d1bdd3ca862c17c3289a6bf4b01d4dc9492fbb6
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261019-r01-open-closed-set-0042.json)