# 第 9701 題：鄰域與開集見證

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R0018-09701 · q-20261013-advance-20261019-r02-neighborhood-0076



## 原題與已知條件

完整有限拓撲與指定點。操作=neighborhood-complete-inventory；資料={"n":4,"opens":[[],[0],[0,1],[0,1,2],[0,1,2,3]],"x":0}。請依 [n,x,open_basis,all_neighborhoods] 欄序回答。


- G001 — 完整有限拓撲與指定點。操作=neighborhood-complete-inventory；資料={"n":4,"opens":[[],[0],[0,1],[0,1,2],[0,1,2,3]],"x":0}。請依 [n,x,open_basis,all_neighborhoods] 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-neighborhood](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-neighborhood/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

n=4;raw open family=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

操作後

universe=[0, 1, 2, 3];normalized opens=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]];empty=是;full=是;union closed=是;intersection closed=是

條件：無

子集與族去重後按mask排序，完整核空集、全集及二元聯交閉合。有限底集合使任意聯集只需有限不同成員；本題要求真拓撲，非法資料不拿來算後續性質。

步驟識別與依賴規則：given_complete_finite_topology_guard · 依賴：G001





S002 · implies操作前

point candidate=0;underlying Fin(4)

操作後

point qualified=是

條件：無

域外點不作鄰域判斷，不由負索引或空見證表製造假；候選集合的型別仍須獨立合格。

步驟識別與依賴規則：neighborhood_point_domain_guard · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

point=0;complete open family=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

操作後

all point-containing opens=[[0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

條件：無

只取含該合法點的所有開集，作完整見證候選；鄰域本身不必開，只需包含其中至少一個。

步驟識別與依賴規則：complete_point_open_witness_basis · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

phase=powerset mask0;point=0;candidate=[];point-open basis=[[0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

操作後

all contained open witnesses=[];neighborhood=否

條件：無

依x∈U⊆candidate列出所有開見證；有一個即是鄰域，沒有才否定，不能只看candidate是否開或是否含點。

步驟識別與依賴規則：all_open_neighborhood_witnesses · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

phase=powerset mask1;point=0;candidate=[0];point-open basis=[[0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

操作後

all contained open witnesses=[[0]];neighborhood=是

條件：無

依x∈U⊆candidate列出所有開見證；有一個即是鄰域，沒有才否定，不能只看candidate是否開或是否含點。

步驟識別與依賴規則：all_open_neighborhood_witnesses · 依賴：G001, S004





S006 · implies操作前

phase=powerset mask2;point=0;candidate=[1];point-open basis=[[0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

操作後

all contained open witnesses=[];neighborhood=否

條件：無

依x∈U⊆candidate列出所有開見證；有一個即是鄰域，沒有才否定，不能只看candidate是否開或是否含點。

步驟識別與依賴規則：all_open_neighborhood_witnesses · 依賴：G001, S005





S007 · implies操作前

phase=powerset mask3;point=0;candidate=[0, 1];point-open basis=[[0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

操作後

all contained open witnesses=[[0], [0, 1]];neighborhood=是

條件：無

依x∈U⊆candidate列出所有開見證；有一個即是鄰域，沒有才否定，不能只看candidate是否開或是否含點。

步驟識別與依賴規則：all_open_neighborhood_witnesses · 依賴：G001, S006





S008 · implies操作前

phase=powerset mask4;point=0;candidate=[2];point-open basis=[[0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

操作後

all contained open witnesses=[];neighborhood=否

條件：無

依x∈U⊆candidate列出所有開見證；有一個即是鄰域，沒有才否定，不能只看candidate是否開或是否含點。

步驟識別與依賴規則：all_open_neighborhood_witnesses · 依賴：G001, S007





S009 · implies操作前

phase=powerset mask5;point=0;candidate=[0, 2];point-open basis=[[0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

操作後

all contained open witnesses=[[0]];neighborhood=是

條件：無

依x∈U⊆candidate列出所有開見證；有一個即是鄰域，沒有才否定，不能只看candidate是否開或是否含點。

步驟識別與依賴規則：all_open_neighborhood_witnesses · 依賴：G001, S008





S010 · implies操作前

phase=powerset mask6;point=0;candidate=[1, 2];point-open basis=[[0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

操作後

all contained open witnesses=[];neighborhood=否

條件：無

依x∈U⊆candidate列出所有開見證；有一個即是鄰域，沒有才否定，不能只看candidate是否開或是否含點。

步驟識別與依賴規則：all_open_neighborhood_witnesses · 依賴：G001, S009





S011 · implies操作前

phase=powerset mask7;point=0;candidate=[0, 1, 2];point-open basis=[[0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

操作後

all contained open witnesses=[[0], [0, 1], [0, 1, 2]];neighborhood=是

條件：無

依x∈U⊆candidate列出所有開見證；有一個即是鄰域，沒有才否定，不能只看candidate是否開或是否含點。

步驟識別與依賴規則：all_open_neighborhood_witnesses · 依賴：G001, S010





S012 · implies操作前

phase=powerset mask8;point=0;candidate=[3];point-open basis=[[0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

操作後

all contained open witnesses=[];neighborhood=否

條件：無

依x∈U⊆candidate列出所有開見證；有一個即是鄰域，沒有才否定，不能只看candidate是否開或是否含點。

步驟識別與依賴規則：all_open_neighborhood_witnesses · 依賴：G001, S011





S013 · implies操作前

phase=powerset mask9;point=0;candidate=[0, 3];point-open basis=[[0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

操作後

all contained open witnesses=[[0]];neighborhood=是

條件：無

依x∈U⊆candidate列出所有開見證；有一個即是鄰域，沒有才否定，不能只看candidate是否開或是否含點。

步驟識別與依賴規則：all_open_neighborhood_witnesses · 依賴：G001, S012





S014 · implies操作前

phase=powerset mask10;point=0;candidate=[1, 3];point-open basis=[[0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

操作後

all contained open witnesses=[];neighborhood=否

條件：無

依x∈U⊆candidate列出所有開見證；有一個即是鄰域，沒有才否定，不能只看candidate是否開或是否含點。

步驟識別與依賴規則：all_open_neighborhood_witnesses · 依賴：G001, S013





S015 · implies操作前

phase=powerset mask11;point=0;candidate=[0, 1, 3];point-open basis=[[0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

操作後

all contained open witnesses=[[0], [0, 1]];neighborhood=是

條件：無

依x∈U⊆candidate列出所有開見證；有一個即是鄰域，沒有才否定，不能只看candidate是否開或是否含點。

步驟識別與依賴規則：all_open_neighborhood_witnesses · 依賴：G001, S014





S016 · implies操作前

phase=powerset mask12;point=0;candidate=[2, 3];point-open basis=[[0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

操作後

all contained open witnesses=[];neighborhood=否

條件：無

依x∈U⊆candidate列出所有開見證；有一個即是鄰域，沒有才否定，不能只看candidate是否開或是否含點。

步驟識別與依賴規則：all_open_neighborhood_witnesses · 依賴：G001, S015





S017 · implies操作前

phase=powerset mask13;point=0;candidate=[0, 2, 3];point-open basis=[[0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

操作後

all contained open witnesses=[[0]];neighborhood=是

條件：無

依x∈U⊆candidate列出所有開見證；有一個即是鄰域，沒有才否定，不能只看candidate是否開或是否含點。

步驟識別與依賴規則：all_open_neighborhood_witnesses · 依賴：G001, S016





S018 · implies操作前

phase=powerset mask14;point=0;candidate=[1, 2, 3];point-open basis=[[0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

操作後

all contained open witnesses=[];neighborhood=否

條件：無

依x∈U⊆candidate列出所有開見證；有一個即是鄰域，沒有才否定，不能只看candidate是否開或是否含點。

步驟識別與依賴規則：all_open_neighborhood_witnesses · 依賴：G001, S017





S019 · implies操作前

phase=powerset mask15;point=0;candidate=[0, 1, 2, 3];point-open basis=[[0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

操作後

all contained open witnesses=[[0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]];neighborhood=是

條件：無

依x∈U⊆candidate列出所有開見證；有一個即是鄰域，沒有才否定，不能只看candidate是否開或是否含點。

步驟識別與依賴規則：all_open_neighborhood_witnesses · 依賴：G001, S018









## 逐步反向核對


- S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

(4, 0, [[0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]], [[0], [0, 1], [0, 2], [0, 1, 2], [0, 3], [0, 1, 3], [0, 2, 3], [0, 1, 2, 3]])

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 3f4872b9568ae70e5dd3c64f5491c068549f21da7291cd89e0607ffda56ffeb0
- candidate record SHA-256: fbed5499a7d9d9482b8a5ed620de3698512a10632ff7ac38d7844a1c3c569ddc
- semantic review receipt SHA-256: bd35da62087a15d6b89b45585dc46e89b9efbe097cba7b3c707b5030496f013c
- question-first witness SHA-256: fab45a10d8ac95c7d61d32e47d1bdd3ca862c17c3289a6bf4b01d4dc9492fbb6
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261019-r02-neighborhood-0076.json)