# 第 9419 題：有限拓撲連續性 [返回所在分頁 48](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/48/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261019-r03-topological-continuity-foundations/#q-20261013-advance-20261019-r03-topological-continuity-0069) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0017-09419 · q-20261013-advance-20261019-r03-topological-continuity-0069 ## 原題與已知條件 完整有限拓撲與總映射。操作=continuity-composition；資料={"n":4,"m":4,"k":4,"opens_x":[[],[2],[1,2],[1,2,3],[0,1,2,3]],"opens_y":[[],[0],[1],[0,1],[2],[0,2],[1,2],[0,1,2],[3],[0,3],[1,3],[0,1,3],[2,3],[0,2,3],[1,2,3],[0,1,2,3]],"opens_z":[[],[0,1,2,3]],"images_f":[2,1,3,0],"images_g":[2,1,0,3]}。請依 [f,g,g_after_f,f_continuous,g_continuous,composition_continuous,composition_rows] 欄序回答。 - G001 — 完整有限拓撲與總映射。操作=continuity-composition；資料={"n":4,"m":4,"k":4,"opens_x":[[],[2],[1,2],[1,2,3],[0,1,2,3]],"opens_y":[[],[0],[1],[0,1],[2],[0,2],[1,2],[0,1,2],[3],[0,3],[1,3],[0,1,3],[2,3],[0,2,3],[1,2,3],[0,1,2,3]],"opens_z":[[],[0,1,2,3]],"images_f":[2,1,3,0],"images_g":[2,1,0,3]}。請依 [f,g,g_after_f,f_continuous,g_continuous,composition_continuous,composition_rows] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-topological-continuity](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-topological-continuity/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 space=X;n=4;raw family=[[], [2], [1, 2], [1, 2, 3], [0, 1, 2, 3]] 操作後 universe=[0, 1, 2, 3];canonical opens=[[], [2], [1, 2], [1, 2, 3], [0, 1, 2, 3]] 條件：無 每個候選先合型為同一Fin(n)的子集，去重元素及重複子集，再以二進位mask排序；開集族與底集合是不同層資料。 步驟識別與依賴規則：finite_topology_normalize_relative_universe · 依賴：G001 S002 · implies操作前 space=X;empty=是;full=是;union closed=是;intersection closed=是 操作後 topology=是;first union failure=無;first intersection failure=無 條件：無 四條件同時成立才是拓撲。底集合有限，所以不同開集也只有有限多個；任意聯集可約成有限不同成員的聯集，由二元閉合與空聯集得到。空交集需全集，無成員時二元條件真也不能略過空集／全集。 步驟識別與依賴規則：finite_topology_axioms_joint_gate · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 space=Y;n=4;raw family=[[], [0], [1], [0, 1], [2], [0, 2], [1, 2], [0, 1, 2], [3], [0, 3], [1, 3], [0, 1, 3], [2, 3], [0, 2, 3], [1, 2, 3], [0, 1, 2, 3]] 操作後 universe=[0, 1, 2, 3];canonical opens=[[], [0], [1], [0, 1], [2], [0, 2], [1, 2], [0, 1, 2], [3], [0, 3], [1, 3], [0, 1, 3], [2, 3], [0, 2, 3], [1, 2, 3], [0, 1, 2, 3]] 條件：無 每個候選先合型為同一Fin(n)的子集，去重元素及重複子集，再以二進位mask排序；開集族與底集合是不同層資料。 步驟識別與依賴規則：finite_topology_normalize_relative_universe · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 space=Y;empty=是;full=是;union closed=是;intersection closed=是 操作後 topology=是;first union failure=無;first intersection failure=無 條件：無 四條件同時成立才是拓撲。底集合有限，所以不同開集也只有有限多個；任意聯集可約成有限不同成員的聯集，由二元閉合與空聯集得到。空交集需全集，無成員時二元條件真也不能略過空集／全集。 步驟識別與依賴規則：finite_topology_axioms_joint_gate · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 f:Fin(4)->Fin(4);whole images=[2, 1, 3, 0] 操作後 all original image entries typed;source labels retained 條件：無 即使本題只問一個空集逆像，也先核整張總表每格合型；保留原來源索引，不依查詢需求丟棄非法格。 步驟識別與依賴規則：whole_topological_total_map_guard · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 space=Z;n=4;raw family=[[], [0, 1, 2, 3]] 操作後 universe=[0, 1, 2, 3];canonical opens=[[], [0, 1, 2, 3]] 條件：無 每個候選先合型為同一Fin(n)的子集，去重元素及重複子集，再以二進位mask排序；開集族與底集合是不同層資料。 步驟識別與依賴規則：finite_topology_normalize_relative_universe · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 space=Z;empty=是;full=是;union closed=是;intersection closed=是 操作後 topology=是;first union failure=無;first intersection failure=無 條件：無 四條件同時成立才是拓撲。底集合有限，所以不同開集也只有有限多個；任意聯集可約成有限不同成員的聯集，由二元閉合與空聯集得到。空交集需全集，無成員時二元條件真也不能略過空集／全集。 步驟識別與依賴規則：finite_topology_axioms_joint_gate · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 g:Fin(4)->Fin(4);whole images=[2, 1, 0, 3] 操作後 all g entries typed before composing 條件：無 第二張總表也要包含所有原Y輸入的合法輸出，不只驗f會碰到的格。 步驟識別與依賴規則：whole_second_map_before_composition · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 original x=0;f(x)=2;g images=[2, 1, 0, 3] 操作後 g(f(x))=0 條件：無 先用f取得Y標籤，再在完整合型g表查值；次序是g在f之後。 步驟識別與依賴規則：topological_composition_source_lookup · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 original x=1;f(x)=1;g images=[2, 1, 0, 3] 操作後 g(f(x))=1 條件：無 先用f取得Y標籤，再在完整合型g表查值；次序是g在f之後。 步驟識別與依賴規則：topological_composition_source_lookup · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 original x=2;f(x)=3;g images=[2, 1, 0, 3] 操作後 g(f(x))=3 條件：無 先用f取得Y標籤，再在完整合型g表查值；次序是g在f之後。 步驟識別與依賴規則：topological_composition_source_lookup · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 original x=3;f(x)=0;g images=[2, 1, 0, 3] 操作後 g(f(x))=2 條件：無 先用f取得Y標籤，再在完整合型g表查值；次序是g在f之後。 步驟識別與依賴規則：topological_composition_source_lookup · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 map=f;images=[2, 1, 3, 0];target open=[] 操作後 full preimage=[];source open=是 條件：無 逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。 步驟識別與依賴規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 map=f;images=[2, 1, 3, 0];target open=[0] 操作後 full preimage=[3];source open=否 條件：無 逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。 步驟識別與依賴規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 map=f;images=[2, 1, 3, 0];target open=[1] 操作後 full preimage=[1];source open=否 條件：無 逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。 步驟識別與依賴規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 map=f;images=[2, 1, 3, 0];target open=[0, 1] 操作後 full preimage=[1, 3];source open=否 條件：無 逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。 步驟識別與依賴規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 map=f;images=[2, 1, 3, 0];target open=[2] 操作後 full preimage=[0];source open=否 條件：無 逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。 步驟識別與依賴規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 map=f;images=[2, 1, 3, 0];target open=[0, 2] 操作後 full preimage=[0, 3];source open=否 條件：無 逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。 步驟識別與依賴規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 map=f;images=[2, 1, 3, 0];target open=[1, 2] 操作後 full preimage=[0, 1];source open=否 條件：無 逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。 步驟識別與依賴規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 map=f;images=[2, 1, 3, 0];target open=[0, 1, 2] 操作後 full preimage=[0, 1, 3];source open=否 條件：無 逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。 步驟識別與依賴規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 map=f;images=[2, 1, 3, 0];target open=[3] 操作後 full preimage=[2];source open=是 條件：無 逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。 步驟識別與依賴規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 map=f;images=[2, 1, 3, 0];target open=[0, 3] 操作後 full preimage=[2, 3];source open=否 條件：無 逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。 步驟識別與依賴規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 map=f;images=[2, 1, 3, 0];target open=[1, 3] 操作後 full preimage=[1, 2];source open=是 條件：無 逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。 步驟識別與依賴規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 map=f;images=[2, 1, 3, 0];target open=[0, 1, 3] 操作後 full preimage=[1, 2, 3];source open=是 條件：無 逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。 步驟識別與依賴規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 map=f;images=[2, 1, 3, 0];target open=[2, 3] 操作後 full preimage=[0, 2];source open=否 條件：無 逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。 步驟識別與依賴規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 map=f;images=[2, 1, 3, 0];target open=[0, 2, 3] 操作後 full preimage=[0, 2, 3];source open=否 條件：無 逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。 步驟識別與依賴規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 map=f;images=[2, 1, 3, 0];target open=[1, 2, 3] 操作後 full preimage=[0, 1, 2];source open=否 條件：無 逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。 步驟識別與依賴規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 map=f;images=[2, 1, 3, 0];target open=[0, 1, 2, 3] 操作後 full preimage=[0, 1, 2, 3];source open=是 條件：無 逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。 步驟識別與依賴規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S027 S029 · implies操作前 map=f;all target opens=[[], [0], [1], [0, 1], [2], [0, 2], [1, 2], [0, 1, 2], [3], [0, 3], [1, 3], [0, 1, 3], [2, 3], [0, 2, 3], [1, 2, 3], [0, 1, 2, 3]];all preimage rows=[[[], [], 是], [[0], [3], 否], [[1], [1], 否], [[0, 1], [1, 3], 否], [[2], [0], 否], [[0, 2], [0, 3], 否], [[1, 2], [0, 1], 否], [[0, 1, 2], [0, 1, 3], 否], [[3], [2], 是], [[0, 3], [2, 3], 否], [[1, 3], [1, 2], 是], [[0, 1, 3], [1, 2, 3], 是], [[2, 3], [0, 2], 否], [[0, 2, 3], [0, 2, 3], 否], [[1, 2, 3], [0, 1, 2], 否], [[0, 1, 2, 3], [0, 1, 2, 3], 是]] 操作後 continuous=否 條件：無 連續性要求每個目標開集的逆像都開；任一失敗即可否定，全數通過依完整有限拓撲資料才可肯定，不以單一成功列或點抽查代替。 步驟識別與依賴規則：continuity_all_target_opens · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 map=g;images=[2, 1, 0, 3];target open=[] 操作後 full preimage=[];source open=是 條件：無 逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。 步驟識別與依賴規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S029 S031 · implies操作前 map=g;images=[2, 1, 0, 3];target open=[0, 1, 2, 3] 操作後 full preimage=[0, 1, 2, 3];source open=是 條件：無 逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。 步驟識別與依賴規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S030 S032 · implies操作前 map=g;all target opens=[[], [0, 1, 2, 3]];all preimage rows=[[[], [], 是], [[0, 1, 2, 3], [0, 1, 2, 3], 是]] 操作後 continuous=是 條件：無 連續性要求每個目標開集的逆像都開；任一失敗即可否定，全數通過依完整有限拓撲資料才可肯定，不以單一成功列或點抽查代替。 步驟識別與依賴規則：continuity_all_target_opens · 依賴：G001, S031 S033 · implies操作前 map=g after f;images=[0, 1, 3, 2];target open=[] 操作後 full preimage=[];source open=是 條件：無 逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。 步驟識別與依賴規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S032 S034 · implies操作前 map=g after f;images=[0, 1, 3, 2];target open=[0, 1, 2, 3] 操作後 full preimage=[0, 1, 2, 3];source open=是 條件：無 逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。 步驟識別與依賴規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S033 S035 · implies操作前 map=g after f;all target opens=[[], [0, 1, 2, 3]];all preimage rows=[[[], [], 是], [[0, 1, 2, 3], [0, 1, 2, 3], 是]] 操作後 continuous=是 條件：無 連續性要求每個目標開集的逆像都開；任一失敗即可否定，全數通過依完整有限拓撲資料才可肯定，不以單一成功列或點抽查代替。 步驟識別與依賴規則：continuity_all_target_opens · 依賴：G001, S034 S036 · implies操作前 Z open=[];g preimage=[];f preimage of that=[] 操作後 composition preimage=[];set identity holds=是 條件：無 (g∘f)逆像U=f逆像(g逆像U)。若兩因子都連續，這給充分理由；若一因子不連續，仍按完整h逆像表判斷，不把前提失敗當成h不連續。 步驟識別與依賴規則：composition_inverse_image_identity · 依賴：G001, S035 S037 · implies操作前 Z open=[0, 1, 2, 3];g preimage=[0, 1, 2, 3];f preimage of that=[0, 1, 2, 3] 操作後 composition preimage=[0, 1, 2, 3];set identity holds=是 條件：無 (g∘f)逆像U=f逆像(g逆像U)。若兩因子都連續，這給充分理由；若一因子不連續，仍按完整h逆像表判斷，不把前提失敗當成h不連續。 步驟識別與依賴規則：composition_inverse_image_identity · 依賴：G001, S036 S038 · implies操作前 f continuous=否;g continuous=是 操作後 independently audited composition continuous=是 條件：無 完整保留三個判斷。合成可能連續，即使個別因子不連續；這不反駁兩個連續映射之合成連續的充分定理。 步驟識別與依賴規則：composition_sufficient_not_necessary_premises · 依賴：G001, S037 ## 逐步反向核對 - S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([2, 1, 3, 0], [2, 1, 0, 3], [0, 1, 3, 2], 否, 是, 是, [[[], [], 是], [[0, 1, 2, 3], [0, 1, 2, 3], 是]]) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: abac8b0967ec946acec2b04402f14201184bcda304ee8fccea1f2c11cd517827 - candidate record SHA-256: 796eedfc31e3218003481d7d54d0f3a4179be4c892310b62d05f65b65919beba - semantic review receipt SHA-256: abad28564830bb9b6ef069ca5a1aa128ce7b1a67a5cb8fe6d868a06db73bcfb8 - question-first witness SHA-256: 43126988479968837abe086263dac1b24c37463ad80e00d2e280a7b8e9036a04 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261019-r03-topological-continuity-0069.json)