# 第 9475 題：有限拓撲連續性 [返回所在分頁 48](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/48/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261019-r03-topological-continuity-foundations/#q-20261013-advance-20261019-r03-topological-continuity-0100) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0017-09475 · q-20261013-advance-20261019-r03-topological-continuity-0100 ## 原題與已知條件 完整有限拓撲與總映射。操作=continuity-open-map-contrast；資料={"n":3,"m":3,"opens_x":[[],[0],[0,1],[0,1,2]],"opens_y":[[],[0],[1],[0,1],[2],[0,2],[1,2],[0,1,2]],"images":[0,1,2]}。請依 [images,continuous,open_map,preimage_rows,image_rows,comparison] 欄序回答。 - G001 — 完整有限拓撲與總映射。操作=continuity-open-map-contrast；資料={"n":3,"m":3,"opens_x":[[],[0],[0,1],[0,1,2]],"opens_y":[[],[0],[1],[0,1],[2],[0,2],[1,2],[0,1,2]],"images":[0,1,2]}。請依 [images,continuous,open_map,preimage_rows,image_rows,comparison] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-topological-continuity](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-topological-continuity/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 space=X;n=3;raw family=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2]] 操作後 universe=[0, 1, 2];canonical opens=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2]] 條件：無 每個候選先合型為同一Fin(n)的子集，去重元素及重複子集，再以二進位mask排序；開集族與底集合是不同層資料。 步驟識別與依賴規則：finite_topology_normalize_relative_universe · 依賴：G001 S002 · implies操作前 space=X;empty=是;full=是;union closed=是;intersection closed=是 操作後 topology=是;first union failure=無;first intersection failure=無 條件：無 四條件同時成立才是拓撲。底集合有限，所以不同開集也只有有限多個；任意聯集可約成有限不同成員的聯集，由二元閉合與空聯集得到。空交集需全集，無成員時二元條件真也不能略過空集／全集。 步驟識別與依賴規則：finite_topology_axioms_joint_gate · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 space=Y;n=3;raw family=[[], [0], [1], [0, 1], [2], [0, 2], [1, 2], [0, 1, 2]] 操作後 universe=[0, 1, 2];canonical opens=[[], [0], [1], [0, 1], [2], [0, 2], [1, 2], [0, 1, 2]] 條件：無 每個候選先合型為同一Fin(n)的子集，去重元素及重複子集，再以二進位mask排序；開集族與底集合是不同層資料。 步驟識別與依賴規則：finite_topology_normalize_relative_universe · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 space=Y;empty=是;full=是;union closed=是;intersection closed=是 操作後 topology=是;first union failure=無;first intersection failure=無 條件：無 四條件同時成立才是拓撲。底集合有限，所以不同開集也只有有限多個；任意聯集可約成有限不同成員的聯集，由二元閉合與空聯集得到。空交集需全集，無成員時二元條件真也不能略過空集／全集。 步驟識別與依賴規則：finite_topology_axioms_joint_gate · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 f:Fin(3)->Fin(3);whole images=[0, 1, 2] 操作後 all original image entries typed;source labels retained 條件：無 即使本題只問一個空集逆像，也先核整張總表每格合型；保留原來源索引，不依查詢需求丟棄非法格。 步驟識別與依賴規則：whole_topological_total_map_guard · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 map=f;images=[0, 1, 2];target open=[] 操作後 full preimage=[];source open=是 條件：無 逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。 步驟識別與依賴規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 map=f;images=[0, 1, 2];target open=[0] 操作後 full preimage=[0];source open=是 條件：無 逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。 步驟識別與依賴規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 map=f;images=[0, 1, 2];target open=[1] 操作後 full preimage=[1];source open=否 條件：無 逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。 步驟識別與依賴規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 map=f;images=[0, 1, 2];target open=[0, 1] 操作後 full preimage=[0, 1];source open=是 條件：無 逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。 步驟識別與依賴規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 map=f;images=[0, 1, 2];target open=[2] 操作後 full preimage=[2];source open=否 條件：無 逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。 步驟識別與依賴規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 map=f;images=[0, 1, 2];target open=[0, 2] 操作後 full preimage=[0, 2];source open=否 條件：無 逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。 步驟識別與依賴規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 map=f;images=[0, 1, 2];target open=[1, 2] 操作後 full preimage=[1, 2];source open=否 條件：無 逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。 步驟識別與依賴規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 map=f;images=[0, 1, 2];target open=[0, 1, 2] 操作後 full preimage=[0, 1, 2];source open=是 條件：無 逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。 步驟識別與依賴規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 map=f;all target opens=[[], [0], [1], [0, 1], [2], [0, 2], [1, 2], [0, 1, 2]];all preimage rows=[[[], [], 是], [[0], [0], 是], [[1], [1], 否], [[0, 1], [0, 1], 是], [[2], [2], 否], [[0, 2], [0, 2], 否], [[1, 2], [1, 2], 否], [[0, 1, 2], [0, 1, 2], 是]] 操作後 continuous=否 條件：無 連續性要求每個目標開集的逆像都開；任一失敗即可否定，全數通過依完整有限拓撲資料才可肯定，不以單一成功列或點抽查代替。 步驟識別與依賴規則：continuity_all_target_opens · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 source open=[];f images=[0, 1, 2] 操作後 full direct image=[];target open=是 條件：無 開映射查的是每個來源開集的正像，方向與連續性逆像不同；正像去重，但不漏來源元素。 步驟識別與依賴規則：open_map_all_source_open_images · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 source open=[0];f images=[0, 1, 2] 操作後 full direct image=[0];target open=是 條件：無 開映射查的是每個來源開集的正像，方向與連續性逆像不同；正像去重，但不漏來源元素。 步驟識別與依賴規則：open_map_all_source_open_images · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 source open=[0, 1];f images=[0, 1, 2] 操作後 full direct image=[0, 1];target open=是 條件：無 開映射查的是每個來源開集的正像，方向與連續性逆像不同；正像去重，但不漏來源元素。 步驟識別與依賴規則：open_map_all_source_open_images · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 source open=[0, 1, 2];f images=[0, 1, 2] 操作後 full direct image=[0, 1, 2];target open=是 條件：無 開映射查的是每個來源開集的正像，方向與連續性逆像不同；正像去重，但不漏來源元素。 步驟識別與依賴規則：open_map_all_source_open_images · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 continuous=否;open map=是;image rows=[[[], [], 是], [[0], [0], 是], [[0, 1], [0, 1], 是], [[0, 1, 2], [0, 1, 2], 是]] 操作後 comparison=性質不同 條件：無 即使本例兩個真假相同，定義與全稱核對方向仍不同，不能把兩性質認成等價。 步驟識別與依賴規則：continuity_and_open_map_distinct_obligations · 依賴：G001, S018 ## 逐步反向核對 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([0, 1, 2], 否, 是, [[[], [], 是], [[0], [0], 是], [[1], [1], 否], [[0, 1], [0, 1], 是], [[2], [2], 否], [[0, 2], [0, 2], 否], [[1, 2], [1, 2], 否], [[0, 1, 2], [0, 1, 2], 是]], [[[], [], 是], [[0], [0], 是], [[0, 1], [0, 1], 是], [[0, 1, 2], [0, 1, 2], 是]], 性質不同) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 51f4e479a6027de1ec91d44f46056e7d50ecce2f654044712c1d3021a8c1fa87 - candidate record SHA-256: ac746eff517afba3f1ceae025699ec8ed1bbbad9ba4eb81bb35fed2d6f0df669 - semantic review receipt SHA-256: abad28564830bb9b6ef069ca5a1aa128ce7b1a67a5cb8fe6d868a06db73bcfb8 - question-first witness SHA-256: 43126988479968837abe086263dac1b24c37463ad80e00d2e280a7b8e9036a04 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261019-r03-topological-continuity-0100.json)