# 第 9380 題：漸近資源界 [返回所在分頁 47](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/47/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261013-advance-20261019-r06-asymptotic-resource-bound-foundations/#q-20261013-advance-20261019-r06-asymptotic-resource-bound-0030) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0017-09380 · q-20261013-advance-20261019-r06-asymptotic-resource-bound-0030 ## 原題與已知條件 明示非負函數族。操作=asymptotic-polynomial-degree；資料={"coeffs_f":[4,2,0],"coeffs_g":[1,5,0,0]}。請依 [coeffs_f,coeffs_g,degree_f,degree_g,bigO,bigOmega,theta] 欄序回答。 - G001 — 明示非負函數族。操作=asymptotic-polynomial-degree；資料={"coeffs_f":[4,2,0],"coeffs_g":[1,5,0,0]}。請依 [coeffs_f,coeffs_g,degree_f,degree_g,bigO,bigOmega,theta] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-asymptotic-resource-bound](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-asymptotic-resource-bound/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 fixed cost model;explicit nonnegative functions on natural n 操作後 O,Omega and Theta quantify positive constants over a full tail 條件：無 先固定成本模型與函數族。O要求存在C>0與N，使所有n≥N都滿足上界；Ω為對應正下界，Θ兩者同時。有限量測只描述有限窗口。 步驟識別與依賴規則：full_tail_not_finite_benchmark_scope · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 f coefficient sum := sum(4, 2, 0) 操作後 f coefficient sum = 6 條件：無 依本步原始操作數及指定次序精確計算，不用近似值或替換候選。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 polynomial=f;original ascending coefficients=[4, 2, 0] 操作後 nonzero indices=[0, 1];degree=1;coefficient sum=6;leading coefficient/status=2 條件：無 保留原係數向量含尾端0；最高非零索引為次數，零多項式另記−1。非零且係數非負時，n≥1有leading*n^degree≤P(n)≤sum(coeff)*n^degree，故無高次消去。 步驟識別與依賴規則：nonnegative_polynomial_degree_and_bounds · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 g coefficient sum := sum(1, 5, 0, 0) 操作後 g coefficient sum = 6 條件：無 依本步原始操作數及指定次序精確計算，不用近似值或替換候選。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 polynomial=g;original ascending coefficients=[1, 5, 0, 0] 操作後 nonzero indices=[0, 1];degree=1;coefficient sum=6;leading coefficient/status=5 條件：無 保留原係數向量含尾端0；最高非零索引為次數，零多項式另記−1。非零且係數非負時，n≥1有leading*n^degree≤P(n)≤sum(coeff)*n^degree，故無高次消去。 步驟識別與依賴規則：nonnegative_polynomial_degree_and_bounds · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 direction=f versus g;degrees=(1,1);sums=(6,6);leading=(2,5) 操作後 Big-O=是;argument=C=6/5,N=1;upper numerator <= 6*n^1 <= C*5*n^1 <= C*denominator 條件：無 逐一分零多項式與非零次數情況。成功給正C與完整尾界；失敗對任意所提C,N都指定可更大的整數n，不以有限反例或數值樣本代替量化。Ω的判斷以交換分子、分母的O等價表達，再倒取正常數。 步驟識別與依賴規則：polynomial_quantified_upper_bound_case · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 direction=g versus f (Omega);degrees=(1,1);sums=(6,6);leading=(5,2) 操作後 Big-O=是;argument=C=3,N=1;upper numerator <= 6*n^1 <= C*2*n^1 <= C*denominator 條件：無 逐一分零多項式與非零次數情況。成功給正C與完整尾界；失敗對任意所提C,N都指定可更大的整數n，不以有限反例或數值樣本代替量化。Ω的判斷以交換分子、分母的O等價表達，再倒取正常數。 步驟識別與依賴規則：polynomial_quantified_upper_bound_case · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 O(f,g)=是;O(g,f)=是 操作後 O=是;Omega=是;Theta=是 條件：無 零對零時上下界0≤C*0都成立；零對非零只屬上界類，非零對零只屬下界類。非零多項式再比較次數，沒有把−1當一般非零常數次數。 步驟識別與依賴規則：zero_polynomial_tail_class_separation · 依賴：G001, S007 ## 逐步反向核對 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g coefficient sum，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f coefficient sum，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([4, 2, 0], [1, 5, 0, 0], 1, 1, 是, 是, 是) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 1dd46d4e9b3e77ac06430e816819661602e54412d0077a29f2e5bf479df383b0 - candidate record SHA-256: f854469a2161f101089a5621dc7b11606320024f06d0fa0dfdaf4171c99f5a60 - semantic review receipt SHA-256: abad28564830bb9b6ef069ca5a1aa128ce7b1a67a5cb8fe6d868a06db73bcfb8 - question-first witness SHA-256: 43126988479968837abe086263dac1b24c37463ad80e00d2e280a7b8e9036a04 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261013-advance-20261019-r06-asymptotic-resource-bound-0030.json)